2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第7题函数(学生版+解析)式中的参变量----运动变化思想的应用(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第7题函数(学生版+解析)式中的参变量----运动变化思想的应用(一题多变)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度等内容，欢迎下载使用。
（一题多变）

【典例展示】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）.
（1）若，求函数在上的最值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【思路分析】 本例第（1）问求复合指数函数的最值，应该首先判断复合函数的单调性，利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”，得到函数在上递增，在上递减，再根据单调性求时的最值；
第（2）问，由于函数解析式中存在“参变量”，而内层函数的单调性相对明确，函数在上递减，在上递增，因此，重点讨论外层函数的单调性和定义域，分和时求解参数的取值范围.
【精细解析】（1）当时，，设，
函数在上递减，在上递增，函数在上递减，
则函数在上递增，在上递减，，，，
所以当，时，，.
（2）函数在上递减，在上递增
当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增，
又，则函数在区间上递增，故满足题意；
当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减，
又，若需满足题意，则，得.
综上，的取值范围是.
【题后反思】
本题主要围绕复合指数函数求最值、根据函数的单调性求参数范围，由于解析式中含有参变量，因此，关键点、也是易错点，就是要分类讨论a的不同取值，分别求解.事实上，高中数学中重点研究的三类函数，即幂函数、指数函数、对数函数的解析式中均含有参变量，在探索幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质时，参变量发挥着极为重要的作用，由于参变量在特定取值范围内的变化，解题时，可运用运动变化的思想方法讨论处理其中的参变量．在下面的变式及训练题中，将围绕幂函数、指数函数、对数函数中的参变量加以讨论.
【追根溯源】
1．幂函数，其中a是有理数参变量，
当时，函数为常数函数，其图像是平行于x轴的一条直线（除去点），因而参变量是幂函数的一个分界量．
当时幂函数的图像都过点，；在第一象限内是单调递增函数，此时又是一个分界量．当，时，函数图像向下凸，a越大，其图像越靠近y轴；当时，函数图像向上凸，a越小，其图像越靠近x轴．
当时，幂函数的图像都过点；在第一象限内是单调递减函数，函数图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近，此时也是一个分界量．当，时，函数图像在曲线的右边，a越小，其图像越远离曲线；当，时，函数图像在曲线的下方，a越小，其图像越靠近x轴，当，时，函数图像在曲线的左边，a越大，其图像越靠近y轴；当，时，函数图像在曲线的上方，a越大，其图像越远离曲线．在其他象限内图像的变化情况可根据幂函数的奇偶性来讨论．
2．指数函数中的参变量a（且）
，保证，其图像在x轴上方．
，函数为常数函数，其图像是平行于x轴的一条直线，可见是指数函数的一个重要分界量．
当时，指数函数的图像通过点，向下凸，单调递增，a越大，在点上方，图像在y轴右边且越靠近y轴；在点下方，图像在y轴左边，且越靠近x轴．
当时，指数函数的图像通过点，向下凸，单调递减．a越小，在点上方，图像在y轴左边，且越靠近y轴；在点下方，图像在y轴右边，且越靠近x轴．
3．对数函数中的参变量a（且）
当时，对数函数的图像通过点，向上凸，单调递增，a越大，在点上方，图像越靠近x轴；在点下方，图像越靠近y轴．
当时，对数函数的图像通过点，向下凸，单调递减，a越小，在点下方，图像越靠近x轴，在点上方，图像越靠近y轴．
【变化角度】变复合指数函数为复合对数函数，变根据单调性求参数为探究参数的存在性.
（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (且).
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【思路分析】本题第（1）问，时，函数恒有意义，即在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，或利用“对勾函数”的性质，即可求出的取值范围；
第（2）问，函数在区间上有意义，则在上恒成立．由（1）同法可得，再分、两种情况讨论，结合二次函数的性质、复合函数单调性判断，建立混合组计算可得.
【详解】（1）当时，函数恒有意义，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，所以.
又且，所以.
（2）函数在区间上有意义，
则在上恒成立．
由（1）同理可知，，
又函数在区间上为减函数，并且最大值为.
当时，为减函数，
则且在上单调递增，
所以，即，故不存在这样的实数；
当时，为增函数，
则且在上单调递减，
所以，即，故不存在这样的实数.
综上，不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为.
【变换角度】变根据函数的性质求参数范围，为根据不等式成立求参数范围.
已知，求实数a的取值范围．
【思路分析】本题是依据幂值大小求字母a的取值范围．所给不等式的背景是幂函数，可以考查幂函数，也可以考查幂函数，但两者的求解方法是不同的，对于函数来说，它在区间和上都是单调递减的，由于图像不连续，必须分开讨论．而对于函数来说，由于图像连续且单调递增，可用解不等式的方法（数轴标根法）．
【详解】解法一 考查函数，由题意有如下情况：
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）．
综上，．
解法二 不等式．
考查函数，由此幂函数为R上的增函数．
则有，
解不等式得或，即．
【变换角度】变具体复合函数为抽象函数关系，通过判断函数的单调性、奇偶性，由不等式成立求参数范围奠定基础.
（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，.
（1）求；
（2）已知，且，若，求的取值范围.
【思路分析】（1）赋值得到，进而得到；
（2）利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合，得到不等式，分和两种情况，求出答案.
【详解】（1）令得，
，
令，得，
，
令，得，
；
（2）任意，设，则，
时，，
，
，
是上的减函数，
中，令得，
故为奇函数，
，且，
又，
，
，即，
则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为
【变换角度】给出分段函数，与函数的奇偶性、周期性以及对称性相结合，根据函数的零点情况，利用数形结合思想求参数范围.
（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
【思路分析】先由题意分析出性质，将零点问题转化为交点问题，再对分和讨论，再找到临界位置，从而得到不等式组， 范围即可.
【详解】∵，则函数关于直线对称，
又∵函数是定义在R上的奇函数，则，
即，则，
故函数是以4为周期的周期函数，
又∵，即，
故函数关于点对称，
令，则，
原题等价于与在上有4个交点，且的定义域为，
当时，则若在上4个交点，则，解得，
当时，则若在上有4个交点，则，解得，
综上.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将函数零点问题转化为两函数交点问题，再对进行分类讨论，作出符合题意的图象，找到临界位置，得到不等式组，解出即可.
（2024·宁夏银川·三模）
1．命题，命题函数且在上单调，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2024·全国·模拟预测）
2．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024·广东广州·三模）
3．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
（2004·湖南·高考真题）
4．若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .
（2024·上海松江·二模）
5．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
（23-24高一下·上海·期中）
6．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.