2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第14题用导数研究函数的单调性(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第14题用导数研究函数的单调性(一题多变)(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】已知函数，．
（1）若存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（2）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围．
【思路分析】 第（1）小题，首先确定函数的定义域，求导数．根据在上存在单调递减区间，转化成有解，
第（2）小题，由在上单调递减，应有当时，恒成立，
必须特别强调的是，在转化过程中一定要考虑定义域，且第（1）小题，不能有等号，第（2）小题，必须有等号！
【精细解析】（1）根据题意得．
，则．
由于在上存在单调递减区间，
∴当时，有解，即有解．
设，又，∴，
∴只要即可．
∴，即实数a的取值范围为．
（2）由在上单调递减得，
当时，恒成立，即恒成立．
设，∴．
∵，又，∴．
∴（此时），
∴，即实数a的取值范围为．
【题后反思】
本例两道小题，属于已知函数的单调情况求参数范围的题型，具体的说二者之间又存在一定的差别：
其中（1）函数在区间D上存在递增（减）区间，其基本的转化方法是“在区间D上有解”；
（2）函数在区间D上递增（减），其基本的转化方法是“在区间D上恒成立且无连续零点”．
在这两道小题中，细节值得注意，即第（1）类，不能有等号！第（2）类，必须有等号！
事实上，应用导数研究函数的单调性问题，常见考查类型包括：
（1）利用导数判断函数的单调性．
（2）利用导数求函数的单调区间．
（3）已知函数的单调性，求参数的范围．
另外，作为导数研究函数单调性的应用还包括：
（4）函数图像的辨识；
（5）比较函数值大小；
（6）解不等式
【追根溯源】
1．导数法求函数单调区间的一般步骤
（1）第一步，求定义域：贯彻定义域优先原则首先求出的定义域，并求导函数．
（2）第二步，求根：求方程在定义域内的根．
（3）第三步，划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间．
（4）第四步，定号：确定在各个区间内的符号．
（5）第五步，得出结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数的单调区间．
2．导数法研究函数单调性的要点
若在内，，则在此区间是增函数，为的单调增区间；
若在内，，则在此区间是减函数，为的单调减区间．
3．在某区间内，f ′（x）>0（f ′（x）k（k≠0），构造函数g（x）＝f （x）－kx＋B．（2）对于不等式xf ′（x）＋f （x）>0，构造函数g（x）＝xf （x）；对于不等式xf ′（x）－f （x）>0，构造函数g（x）＝ （x≠0）．
（3）对于不等式xf ′（x）＋nf （x）>0，构造函数g（x）＝xnf （x）；对于不等式xf ′（x）－nf （x）>0，构造函数g（x）＝ （x≠0）．
（4）对于不等式f ′（x）＋f （x）>0，构造函数g（x）＝exf （x）；对于不等式f ′（x）－f （x）>0，构造函数g（x）＝.
（5）对于不等式f ′（x）sin x＋f （x）cs x>0（或f （x）＋f ′（x）tan x>0），构造函数g（x）＝f （x）sin x；对于不等式f ′（x）cs x－f （x）sin x>0（或f ′（x）－f （x）tan x>0），构造函数g（x）＝f （x）cs x.
5.解不等式
（1）解函数不等式的关键是研究函数单调性，通过单调性将原问题转化为关于自变量的不等关系，要注意将常数y0写成f （x0）的形式．
（2）常见的函数构造形式：
①g（x）＝eaxf （x），g′（x）＝eax[af （x）＋f ′（x）]；②g（x）＝，g′（x）＝
6.含参数的函数的单调性讨论
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，应做到“不重不漏”．
（2）确定函数的单调区间时，一要在函数定义域内讨论，二还要确定导数为零的点和函数的间断点．
（3）要对分类讨论后的结论进行整合，体现“分类与整合”的数学思想．
7.函数图象的识辨
利用导数进行图象识别有以下三个结论：①在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间，在x轴下方区域对应原函数单调递减区间；②在导函数图象中， 图象由x轴上方到x轴下方与x轴的交点为极大值点；由x轴下方到x轴上方与x轴的交点为极小值点；③导函数与x轴的交点不一定是极值点，交点两侧导函数值可能恒正或者恒负，若交点是极值点，交点两侧导函数值必须异号．
8.已知函数单调性求参数的范围
根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f （x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；②f （x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f ′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子集上f ′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；③函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【变化角度】根据含参数函数不是单调函数，求参数范围.
（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为 ．
【思路分析】求出函数的导数，分类讨论解或即可.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得，由，得，
函数在上递减，在上递增，即不是单调函数，因此；
当时，由，得，由，得或，
在上递减，在上递增，不是单调函数，因此；
当时，恒成立，在上递增，不符合题意；
当时，由，得，由，得或，
在上递减，在上递增，不是单调函数，因此，
所以a的取值范围为或.
故答案为：或
【变换角度】与导数的几何意义相结合，讨论含参数函数的单调性.
（2024·全国·模拟预测）已知函数．
（1）若曲线在处的切线的斜率为1，求该切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
【思路分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数，分、及讨论即可得.
【详解】（1）由题意知，，则．
因为曲线在处的切线的斜率为1，
所以，即，即，
所以或，
因此，，，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）的定义域为，，
若，则，在上单调递增，
若，则当时，，，
于是，，，
即，在上单调递增，
若，则当时，，，
于是，，，
即在上单调递增，
因此，函数在上单调递增．
【变换角度】与导数的几何意义相结合，利用分类讨论思想求函数的单调区间.
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）求的单调区间．
【思路分析】本例的难点在第（2）问，讨论含参数函数的单调区间，此类问题首先要贯彻定义域优先的原则求出函数的定义域．这很重要，不然虽辛苦求解劳而无功．其次，对参数k的讨论要到位，不能漏掉某种情况．
【详解】（1）当时，，．
由于，．
∴曲线在点处的切线方程为，
即．
（2），．
当时，，
∴在区间上，，在区间上，．
故的单调递增区间是，单调递减区间是．
当时，∵．
由知，在区间和上，，
在区间上，，
故的单调递增区间是，，单调递减区间是．
当时，，当时，，
故的单调递增区间是．
当时，∵．
由知，在区间和上，，
在区间上，，
故的单调递增区间是，，单调递减区间是．
【变换角度】给出函数“A类函数”的新定义，在“A类函数”条件下求函数的单调区间.
若函数在上恒有成立（其中为的导函数），则称这类函数为A类函数．
（1）若函数，试判断是否为A类函数．
（2）若函数是A类函数，求函数的单调区间．
（3）若函数是A类函数，当，时，证明：．
【思路分析】（1）根据A类函数的定义，考察在上恒成立；
（2）根据A类函数的定义，由，得．即．
令，应用导数研究其单调性.分、、、、时，讨论h（x）的单调区间.
（3）根据题意，构造，则在时恒成立.
【详解】（1）解：∵，
∴在上恒成立，
即在上恒成立．
∴是A类函数．
（2）解：，
由，得． ①
∵，∴①式可化为．
令，，令，得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
∴，∴，．
ⅰ．当时，由，得，
∴增区间为，减区间为．
ⅱ．当时，由，得．
∴增区间为，减区间为．
ⅲ．当时，由得或，
∴增区间为，，减区间为．
ⅳ．当时，，∴函数增区间为．
ⅴ．当，由，得或，
∴增区间为，，减区间为．
（3）证明：函数在上的每一处都有导数，
且在上恒成立，
设，在时恒成立，
∴函数在上是增函数，
∵，，∴，．
∴，，
即，，
∴，，
两式相加，得．
（2024·山东潍坊·三模）
1．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
【详解】不等式等价于，即，
构造函数，所以，
因为时，，所以对恒成立，
所以在单调递减，
又因为，
所以不等式等价于，所以，
即的解集为.
故选：A.
（2024·江苏泰州·模拟预测）
2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的导函数，利用换元法将题目条件转化为在上恒成立；再构造函数，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，
则，
所以在上恒成立.
又因为在上单调递增，
所以当时，
故.
故选：D.
（2024·浙江宁波·模拟预测）
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，利用导数证明，代入可比较的大小，根据对数函数的性质可判断的大小，从而可求解.
【详解】设，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以，即，
所以，即，
所以，即.
由，可得，即，即，
所以，即.
综上所述，.
故选:B.
（2024高三·全国·专题练习）
4．已知函数,求的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】先求导，然后讨论的正负和的大小关系，最后求出单调区间.
【详解】定义域,
,
令,即解不等式.
（1）当时,可得，则不等式的解为,
的单调区间为：
（2）当时, ,
① 时，即,解得或,
的单调区间为：
② ,代入到恒成立,
为增函数.
③ ,解得：或,
的单调区间为：
综上，当时,在递增,在递减,在递增;
当时,在递增;
当时, 在递增,在递减,在递增;
当时,在递增,在递增.
（2023·全国·模拟预测）
5．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围．
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）首先对原函数求导，方法一：通过讨论a的范围得到函数的单调区间，只需要极值点在区间内即可求出a的范围；方法二：求出函数恒单调时a的取值范围，取其补集即可；
（2）原不等式整理后可得在上恒成立，构造新函数，，通过二次求导结合分类讨论思想即可得到答案.
【详解】（1）方法一 由，得．
若，则恒成立，为增函数，不符合题意．
若，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在区间上不是单调函数，所以，
所以，所以．
方法二 由，得．
若在区间上是单调函数，
则或在上恒成立．
若在上恒成立，则在上恒成立，所以．
若在上恒成立，则在上恒成立，所以．
所以若在区间上不是单调函数，则．
（2）当时，，即，
整理得在上恒成立．
令，，则．
令，则．
因为，所以，所以在上为增函数，
所以在上为增函数．
所以．
所以．
当，即时，恒成立，所以在上为增函数，
所以，即恒成立．
当，即时，因为在上单调递增，所以，使得．
即当时，，当时，．
又因为，所以在上不恒成立．
综上可知，的取值范围是．
【点睛】第二问转化为在上恒成立，其实只要注意到，必有成立，可以得到这个必要条件，然后再论证是满足题意也是可行的.
（2024·江苏盐城·模拟预测）
6．已知函数，其中．
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）对函数求导，利用函数单调性与导数的关系，建立不等式求解即可；
（2）由，得，要证明，只需证明，两边同时取对数整理得，构造函数，利用导数的性质证明即可.
【详解】（1），
在上单调递增，在上恒成立且满足的点不连续．
当时，．由在上单调递减可知，
当时，，，
综上，的取值范围为
（2）当时，，
且，
下面证明，
即证明，等价于证明：，
设，所证即为：，
等价于证明：，
设函数．
在上单调递增，而，
，所证不等式成立．