2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第15题题焦点三角形与双曲线离心率(高三备考)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第15题题焦点三角形与双曲线离心率(高三备考)(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了思路分析，题后反思，变化角度，举一反三，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【2024届常德市高三模拟考试】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线的离心率为______．
【思路分析】
根据题意可得，设，则，由是等腰三角形知，，或，根据双曲线的定义结合三角形的余弦定理建立关系式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
由题，，
设，则.
因为是等腰三角形，显然，可得，或，
①若，则，
此时，故，
所以，，，，因为，
所以分别在和中，由余弦定理：
，，
因为，所以，
所以．
②若，则，此时，则，
，因为，
所以分别在和中，由余弦定理：
，，
因为，所以，
所以.
故答案为：或.
【题后反思】
本题是一道以双曲线为载体，焦点三角形的面积关系及三角形的形状为条件背景，求双曲线的离心率问题.首先是要能根据为等腰三角形，判断出中相等的边；其次是要能合理利用，由余弦定理建立齐次关系式求解即可.
变条件背景，求离心率
【变化角度】仍以双曲线为载体，改变题中的条件背景，仍求双曲线的离心率，如下：
例：（多选）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】
（1）若M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，

所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
，，
，故选A；
（2）若M、N在双曲线的两支，如图；
因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
，，
所以，即，
所以双曲线的离心率，故选C
综上：故选A、C.
【举一反三】
1．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
变求离心率为求标准方程
【变换角度】改变原题中问题，变求离心率为求双曲线的标准方程，如下：
例：如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程
【详解】
设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
【举一反三】
3．已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
变载体为椭圆，求离心率
【变换角度】将原题中的双曲线变为椭圆，仍求离心率，如下：
例：已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．
【思路分析】
由题意得，联立直线与椭圆方程得，，
再利用，再代入值计算即可得答案.
【详解】
如图所示，由椭圆定义可得，，
设的面积为，的面积为，因为，
所以，即，
设直线，则联立椭圆方程与直线，
可得，
由韦达定理得：，，
又，即，
化简可得，即，
即时，有.
故答案为：
【举一反三】
5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
6．已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线l经过点且交于两点（点在第一象限），若的面积是的面积的3倍，则的离心率为 ．
【答案】
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的2倍，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且过的直线交双曲线的渐近线于两点，若，（表示的面积），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
9．过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
10．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
11．已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
12．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且横纵坐标均为非负数，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
13．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为
【答案】
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为 ．
【答案】或