2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点15双曲线性质与离心率(培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点15双曲线性质与离心率(培优专项训练)(学生版+解析)，共12页。

考向01 定义1：轨迹
1．（2026高三·天津·专题练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三全国专题练习）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
考向02 定义2：第一定义
5．（2025·武汉·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江西抚州·模拟预测）点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是
A．B．C．D．
7．（25-26高三·湖南·模拟预测）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最小值是
8．（2025·贵州黔东·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且的周长为9.设为双曲线右支上的动点，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向03 定义3：第三定义与中点弦
13．（2022·四川南充·一模）双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（ ）
A．B．或
C．D．或
14．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
15．（2025·浙江台州·模拟练习）已知双曲线：，点的坐标为，斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点.当直线的斜率为时，此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·四川成都·模拟预测）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
考向04 焦点三角形1：焦半径
1．（25-26高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．2025·浙江绍兴·模拟预测）已知为双曲线上一点，过作直线，分别交双曲线的渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
3．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，且，又过作一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第二象限），且，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（25-26高二上·河南濮阳·期末）若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则称椭圆为该双曲线的伴生椭圆.已知双曲线的左焦点为，的伴生椭圆与在第一象限的交点为，则（ ）
A．4B．C．D．6
考向05 焦点三角形2：焦点圆
5．（2022·江西·模拟预测）已知分别是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于两点，若两点的横坐标之比是，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（19-20高三下·天津南开·月考）设，为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则的值（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·四川成都·期中）设双曲线 的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ）
A．−2B．C．D．
8．（2021·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
考向06 焦点三角形3：渐近线
9．（25-26高二上·山东济南·期末）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．已知为双曲线的左、右焦点，从发出的光线经过双曲线右支上的点反射后，反射光线与入射光线垂直，且，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点，是双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，连接作且与轴交于点，若则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（22-23高三上·河南三门峡·期末）如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为P，线段与另一条渐近线交于点Q，且的面积是面积的2倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
考向07 焦点三角形4：切线
12．（2026·湖南永州·一模）已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
13．（20-21高三下·河南·月考）已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·福建 模拟预测）过双曲线上任意点作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于两点，若为坐标原点，则的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．（2024·广东广州·模拟预测）若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·河南·二模）过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（ ）
A．B．2C．3D．4
考向08 离心率1：定义型
1．（2026高三·保定·专题练习）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026高三·天津·专题练习）已知双曲线的左焦点为，横截距大于的直线与右支交于两点，，，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向09 离心率2：中点与点差型
5．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知，是双曲线C：的左、右焦点，过点的直线与双曲线左，右两支分别交于点P，Q，若，右焦点在线段PQ的中垂线上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
6．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025高三·天津·专题练习）已知是双曲线的左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角是，直线与双曲线的两条渐近线交于、两点，且恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．（2024·云南曲靖·一模）已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
考向10 离心率3：渐近线型
9．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（2026高三·广东汕头·专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．4
12．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
考向11 离心率4：构造a、b、c齐次型
13．（2026高三·山东临沂·专题练习）是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．B．C．2D．
14．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考向12 离心率5：焦点三角形型
17．（23-24高二上·山东青岛·月考）双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线C左支交于点P，原点O到直线的距离为，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
18．（2024·浙江台州·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
19．（2022·江西景德镇·模拟预测）点F是双曲线的左焦点，斜率为的直线l过点F且与双曲线C的右支交于点P，过切点P的切线与x轴交于点M.若，则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·重庆·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考向13 离心率6：双三角形余弦定理型
21．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
23．（2024江苏·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
24．（2025高三全国练习）设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考向14 离心率7：共焦点椭圆与双曲线
25．（23-24高三全国专题练习）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．（25-26高三·湖南张家界·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
27．（25-26广州深圳模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．16C．7D．8
考向15 离心率8：焦点三角形内心型
29．（23-24高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
30．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
31．（2026·重庆·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．4
32．（20-21高三下·湖南长沙·月考）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三下·北京西城·月考）已知双曲线，直线，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则a的取值有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三下·北京·开学考试）正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部．此双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（22-23高三上·全国·开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为
C．
D．的内心满足
10．（2026·山西晋中·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴的交点为，若，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的离心率为
C．直线的斜率为2
D．点到上的点的距离的最小值为
11．（25-26高三上·湖南长沙·期末）双曲线的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为D，则（ ）
A．若PI的延长线交x轴于点N，则
B．点D的轨迹在圆上
C．若则
D．若，则
三、填空题
12．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，，为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，则________．
则，，，
可得，．
在中，由余弦定理可得，
，
即，所以．
故答案为：.
13．（2026高三下·重庆·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点为，已知P为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线C的离心率_________．
14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线：的左焦点为，左顶点为．以原点为圆心，分别以，为半径作圆，．设是圆与在第一象限的交点，连接交圆于，两点．若，则的离心率为_________．
结束
内容导航
速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：近三年（2023–2025）高考数学对双曲线的考查以小题（选择、填空）为主，每年 1 题、5 分，难度中档偏易，核心聚焦离心率、渐近线、标准方程、定义与焦点三角形，常与向量、圆、抛物线综合。
全国卷、高考卷均为1 道小题（选择、 填空），5 分。难度定位在基础、 中档题为主。
预测2026年：2026年命题趋势：
核心稳定：离心率、渐近线、标准方程为绝对高频。
综合增强：常与向量、圆、抛物线、解三角形结合，考查几何转化与运算。
重定义与性质：淡化复杂联立，强调定义应用、焦点三角形、渐近线几何意义。
复习备考：
1.由方程求 e、渐近线；
2.由渐近线 、离心率求方程；
3.焦点三角形求 e；
4.焦点到渐近线距离综合。
。
轨迹的求法核心分为定义法、相关点法（代入法）、直接法（直译法）三大类，其中双曲线轨迹求解中定义法为高频考点，同时结合点差法可解决中点相关的轨迹问题，以下梳理各类方法的常见步骤和适用场景，常见步骤：
1、找定点：确定轨迹对应的两个定点F1​,F2​，计算两定点间的距离∣F1​F2​∣=2c；
2、证定值：通过几何关系推导动点P到两定点的距离差的绝对值为定值2a，且验证2a0，c>0).
椭圆：设直线和椭圆的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
抛物线：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
可得
焦半径：
双曲线的焦半径是指双曲线上任意一点到其一个焦点的距离，公式分焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种形式，且需区分点在左 、 右支（x 轴）、上、 下支（y 轴），核心依托双曲线的第一定义和第二定义推导，是解决焦点三角形、焦半径最值等问题的关键公式。
焦点在 x 轴上的双曲线
设双曲线的左焦点F1​(−c,0)，右焦点F2​(c,0)（c2=a2+b2），双曲线上任意一点P(x0​,y0)：
点P在右支上（x0​≥a）：右焦半径：∣PF2​∣=ex0​−a左焦半径：∣PF1​∣=ex0​+a
点P在左支上（x0​≤−a）：右焦半径：∣PF2​∣=−ex0​+a左焦半径：∣PF1​∣=−ex0​−a
焦点圆：
圆心为双曲线的中心（原点），半径为双曲线的半焦距c，与双曲线的半实轴a、半虚轴b满足勾股定理c2=a2+b2。性质本质是：
根据圆的性质，焦点圆上任意一点P满足∠F1PF2​=90∘（直径所对圆周角为直角），即PF1垂直PF2，此结论为焦点圆与双曲线交点问题的核心突破口。
渐近线：
渐近线的对称性
双曲线的两条渐近线关于x 轴、y 轴、原点中心对称，且双曲线的对称轴（x 轴、y 轴）为渐近线的角平分线；推论：渐近线的夹角被双曲线的实轴平分，夹角θ满足tanθ/2​=b/a​（焦点在 x 轴），tanθ/2​=a/b​（焦点在 y 轴）。
性质 2：焦点到渐近线的距离为定值b（秒杀结论）
性质 3：渐近线与焦点圆的交点为(a,b)（第一象限）
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：
（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
定义法求离心率：
知焦点三角形的边长关系、角度、周长，或结合垂直、中点、角平分线等几何条件，能通过第一定义表示出∣PF1​∣、∣PF2​∣、2c的数量关系。
核心步骤：
1.定左右支位置设长：判断点P在双曲线左 / 右支，设∣PF1∣=m，∣PF2∣=n；
右支：m−n=2a；左支：n−m=2a；
2.列出几何等式：结合题设条件（周长、勾股、余弦定理、中点 / 垂直性质），列出m、n、2c的第二个等式；
3.消元求a,c：联立第一定义式和几何等式，消去m、n，得到仅含a、c的齐次等式；
4.求离心率：将等式两边同除a2（或a），转化为关于e=c/a​的方程，求解并保留e>1的解。
点差法求双曲线离心率，核心是利用点差法推导的中点弦斜率公式，结合题中中点、平行、垂直、线段比例等条件，建立弦斜率与双曲线a,b的关系，再通过c2=a2+b2转化为离心率e=c/a​的方程，是求解中点弦相关离心率的专属方法， 也是双曲线离心率求解的常见技巧。
主要是第三定义公式：
小题常用 “秒解” 组合
给渐近线 + 过一点 ⇒ 直接设
给焦点到渐近线距离 ⇒ 直接得 b
给渐近线斜率 ⇒ 直接得 b/a​ ⇒ 立刻算 e
求离心率：优先找 b/a​，比硬算 a,c 快很多
求双曲线离心率或其取值范围的方法：
（1）直接求出的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有的齐次方程（或不等式），借助于消去，再借助于，转化为含有的方程（或不等式）求解．
双曲线焦点三角形求离心率，主要思维：
用定义把边写成 a，用余弦定理把角和边绑在一起，最后全部换成 abc齐次式​，直接解方程
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：

圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
焦点四边形具有中心对称性质。
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.