2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第2题(学生版+解析)几何中角度问题(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第2题(学生版+解析)几何中角度问题(学生版+解析)，共13页。学案主要包含了思路分析，题后反思，变化角度，举一反三，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【永州市2024届高三第二次模拟考试】已知分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解.
【详解】
如图 ， ， ， ，
设，则，
平分 ，
， ，
由双曲线定义可知，
，即，
在中，由余弦定理知
化简得 ， 由得 ，
不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则 ， .
故选：B
【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得.
【题后反思】
圆锥曲线中离心率得问题主要还是建立的齐次式的方程，进行求解．对于这种类离心率问题的处理方法也一样，在建立方程时．几何法：将题目中线段利用将其表示出来，然后再利用相似三角形、勾股定理、余弦定理等等建立方程．代数法：将题目中点的坐标用表示出来，然后将其带入直线方程或者曲线方程．在解圆锥曲线小题时结合定义解题很重要．
【变化角度】变化载体，仍求角，如下：
（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
直线l与C的一条渐近线平行求出可得点坐标，根据得点坐标代入，可得渐近线方程，设，求出，利用平方关系、商数关系、余弦的二倍角公式计算可得答案.
【详解】
过的直线斜率为，则，则，依题知，
且，则，即，
根据，得，代入，
得，渐近线方程，
设，
，由，所以，
．
故选：A.
【点睛】方法点睛：当解析中与向量问题的结合时，一般的思路有两个，一个是寻找几何关系，比如：中点、垂直、角平分线等，利于数形结合求解；另一个是通过向量坐标化，进而转成代数运算求解.
【举一反三】
（2024·陕西西安·三模）
1．已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的右支交于点，与双曲线的渐近线交于点，直线与轴交于点，若，则 ．
（2024·湖南邵阳·三模）
2．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【变换角度】变问法为求渐近线方程，如下：
（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进行求解即可.
【详解】
因为，所以∽．
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以．
由双曲线定义知，即，解得．
又由，得，
所以，即是等腰三角形．
由余弦定理知，
即，化简得，所以，
则双曲线的渐近线方程为．

故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质.
【举一反三】
（2024·全国·模拟预测）
3．双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）
4．设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ．
【变换角度】变问法为求相关线段长，如下：
（2024·浙江金华·三模）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
先根据题意画出图象，由角平分线的性质可得点到直线与的距离相等，进而利用直线的方程可得点的坐标，然后列方程求点的坐标，从而可得.
【详解】
由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：

设，又，
由题意可知，直线的斜率一定存在，
所以，直线，即，则点，
直线，化为一般形式得，
因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
于是，化简得，
即，
又点在椭圆上，所以，得，
因此，，即，
解得或，点在第一象限，所以，，
则点，
所以.
故选：C.
【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度.
【举一反三】
（2024·四川·三模）
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2B．C．D．
（2024·河北秦皇岛·二模）
6．已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（ ）
A．B．C．D．

【变换角度】变问法为求离心率或范围，如下：
（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， .
【思路分析】
第一空，利用向量平行的性质与平行线分线段成比例得到，从而得到，由此得解；第二空，利用余弦定理，分别在与中，得到与，从而得解.
【详解】
如图，
由题意，知，设双曲线的焦距为，则.
由，得，且，
所以，所以，即，
所以双曲线的离心率.
连接，设，
则.
在和中，由余弦定理的推论，
得，
化简整理，得，
所以在中，由余弦定理的推论，
得.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）.
【举一反三】
（2024·湖北·二模）
7．函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则 ．
8．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．

（23-24高二下·上海·期中）
9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是
A．B．
C．D．
（2024·天津河西·一模）
11．已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
（2024·四川绵阳·模拟预测）
12．过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
（2024·安徽合肥·模拟预测）
13．如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ．
（2024·山东菏泽·模拟预测）
14．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，到直线的距离为，且，则 ．
（2024·全国·模拟预测）
15．已知椭圆：与双曲线有相同的左，右顶点A，B，过点A的直线l交于点P，交于点Q．若为等边三角形，则双曲线的虚轴长为 ．
（2024·河北·二模）
16．阅读下列两则材料：
材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点．
材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为．
①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为．
②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，．
完成下列填空：
已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为 ．