2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第9题几何和代数协同求离心率(解透一题)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第9题几何和代数协同求离心率(解透一题)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了椭圆焦点三角形等内容，欢迎下载使用。

【成都市2024-2025学年高三下学期二诊T7】
已知双曲线的右焦点为，若关于直线的对称点 P在双曲线C上.则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.

考的过程
在双曲线相关问题的研究中，求解双曲线的离心率是一个重要的课题.离心率作为双曲线的关键参数，能够反映双曲线的形状特征.对于已知双曲线右焦点关于某直线对称点在双曲线上的情况，精确求解离心率具有一定的挑战性，需要综合运用多种数学方法和知识.
【方法一】利用对称点和点在双曲线上的性质
设双曲线的右焦点为，其中.依据点关于直线对称的性质，可求出点
关于直线的对称点的坐标.点关于直线对称的性质表明，两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上.即直线的斜率与直线的斜率3满足，同时与两点的中点满足直线方程.求P点坐标后，将其代入双曲线方程，再结合和离心率，即可求解离心率.
因为直线的斜率，且，所以
，即.又因为，所以.
联立方程组，将代入可得：
，等式两边同时乘以得到
，展开可得，
移项合并同类项得，解得.
把代入得，
所以.
将P点坐标代入双曲线方程得：
.
因为，设，则，
上式可化为.
通分得到，即，
整理得.
令，则方程变为.
由求根公式，解得或（因为，所以舍去）.
所以，则.
方法的关键在于准确求出对称点的坐标，充分利用了点关于直线对称的两个重要性质.在代入双曲线方程后，得到的四次方程转，通过换元可以化为关于的二次方程.计算过程中涉及到较多的代数运算，需要仔细认真，以避免计算错误
作为小题，显得小题大做.
【方法二】向量法优化对称点的坐标求法
设，，直线的方向向量为，.根据对称点连线与对称轴垂直的性质，可知与直线的方向向量垂直，所以，即.同时，F与P的中点在直线上，可得.联立这两个方程求出P点坐标
设，根据对称点连线与对称轴垂直的性质得方程组
解得，，所以.
后续将P点坐标代入双曲线方程，与方法一的化简计算过程相同，最终可得
向量法的优点是将几何关系用向量的运算表示出来，更加简洁明了.通过向量垂直和中点在直线上这两个条件建立方程组，思路清晰.但同样在后续代入双曲线方程求解离心率时，需要进行复杂的代数运算，要注意运算的准确性.同时，对于向量的相关知识和运算要熟练掌握.
【方法三】几何推理+ 公式法
当题目直接给出与焦点相关或隐含几何条件（如焦点三角形为直角三角形、等边三角形等），思考回归定义，基于的焦点三角形离心率优化运算.做示意图
.
双曲线的标准方程为，焦距为，焦点，设左焦点为.直线的倾斜角为，则，进而可得.
在中： 根据中点性质可得：
根据双曲线定义：
因此，离心率
对称性转化：利用对称轴垂直平分线段的性质，直接构建直角三角形以简化计算.
几何关系优先：通过中点和平行关系推导线段比例，避免进行坐标代数运算.
离心率公式直接应用：在焦点三角形中将几何量与直接关联，迅速得出 的值.
易错点提醒：1、 要注意双曲线定义中距离差的绝对值条件（需验证)）.2、准确判断 的直角位置，需严格依据对称性和中点性质进行验证.
通过几何对称性、平行关系与三角函数的结合，可高效解决双曲线离心率问题.此类问题需重点挖掘题目中的几何特征，减少代数运算量，突出数学直观与逻辑推理的核心素养.
【双曲线焦点三角形中公式应用求e】
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【椭圆焦点三角形】
2．设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线左支交于，两点，两点关于轴对称，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．