以双曲线为背景的离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份以双曲线为背景的离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高二上·河南开封·期末）已知双曲线：（，），斜率为1的直线与双曲线交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
例2．（25-26高三上·山东东营·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例3．（25-26高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
例4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围为 .
例5．（25-26高二上·江西上饶·期末）已知双曲线：的左顶点为A，右焦点为F，双曲线E在第一象限上的任意一点B都满足，则该双曲线的离心率为 .
例6．（25-26高二上·江西宜春·期末）过双曲线：（，）的左焦点作圆的一条切线，切点为，该切线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为 .
变式1．（25-26高二上·广东茂名·期末）双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（25-26高二上·福建宁德·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点. 若，则双曲线的离心率为 （ ）
A．B．2C．D．3
变式3．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为 .
变式5．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为 .
变式6．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若，且，则双曲线的离心率为 .
考点二 以双曲线为背景的焦点三角形问题
例1．（25-26高三上·广东惠州·期末·多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．的最小值为
C．若，则的周长为
D．双曲线上存在不同两点关于点对称
例2．（25-26高二上·福建漳州·期末·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且在第一象限，若，则（ ）
A．B．的坐标为
C．D．的离心率为
例3．（25-26高二上·河南驻马店·期末·多选）曲线左、右焦点分别为，，直线与曲线的左、右两支分别交于，两点，则（ ）
A．且
B．
C．若直线与圆相切，则
D．若，则的内切圆半径为
例4．（25-26高二上·山西太原·期末·多选）双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则的面积为
变式1．（25-26高二上·广西钦州·期末·多选）已知双曲线，左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．虚轴长为4
C．直线与双曲线左、右两支的交点分别为，则
D．若点在双曲线的右支上，且，则
变式2．（2026·陕西西安·模拟预测·多选）设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．点到轴的距离为D．四边形的面积为15
变式3．（2026·江苏南通·一模·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ）
A．的渐近线方程为B．的实轴长是2
C．的面积是12D．的外接圆半径是
变式4．（25-26高二上·广东深圳·期末·多选）已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（ ）
A．点的纵坐标为B．△的周长为
C．△的内切圆半径为D．大于
考点三 以双曲线为背景的面积问题
例1．（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线与双曲线交于两点.
(1)若两点分别在双曲线的左支和右支上，求的取值范围；
(2)设，求的面积.
例2．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与的面积相等，求点的坐标.
例3．（25-26高二上·山西太原·期末）已知双曲线的离心率，其焦点到它的渐近线的距离为1．直线与的左、右两支分别相交于点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求实数的取值范围；
(3)若是坐标原点）的面积为，求实数的值.
变式1．（25-26高二上·江西九江·期末）已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)动直线与交于，两点，直线与轴交于点，与线段交于点，若，求证：过定点；
(3)过点的直线与的右支交于，两点，求面积的最小值.
变式2．（2026·山东泰安·一模）已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的标准方程；
(2)若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为.
（i）求的最小值；
（ii）求的值.考点目录
以双曲线为背景的离心率问题
以双曲线为背景的焦点三角形问题
以双曲线为背景的面积问题