素养拓展32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式
1.如图1所示，、是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记，则的面积.
证明：如图，由余弦定理知． ①
由椭圆定义知：， ②
则②·2－①得，．
当时，．
2.如图2所示，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.
证明：如图，由余弦定理知，
，
，
，，
∴．
当时，．
二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率
1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：
2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：.
二、题型精讲精练
【典例1】设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积为________.
【解析】由焦点三角形面积公式，.
【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________.
【解析】由焦点三角形面积公式，.
【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知、是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若，且，则C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
【解析】解法1：如图，， ，故可设，则，，
所以C的离心率.
解法2：如图，.
【典例4】已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，且，则双曲线C的离心率为_______.
【解析】解法1：如图，由题意，不妨设，则，，
所以.
解法2：如图，由题意，，，所以.
【题型训练-刷模拟】
1.椭圆中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、填空题
1.设、是椭圆的左、右焦点，P在C上且轴，若，则椭圆C的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，且，故可设，则，，
所以椭圆C的离心率.
解法2：如图，
2.在中，，，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，不妨设，，
则，所以.
解法2：如图，
.
3.过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】解法1：如图，
，
不妨设，，则，所以.
解法2：如图，
.
4.在中，，，且，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.
【答案】
【解析】解析：如图，设
则，
，
而，所以.
5.在中，，，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，由题意，不妨设，
则，，所以.
6.设、是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，，则椭圆C的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，，
，
所以，
故.
7.在中，，，，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】
椭圆的离心率.
8.过椭圆的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，设椭圆C的右焦点为，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨设，则，，
所以椭圆C的离心率.
解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
.
9.设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______.
【答案】
【解析】解法l：如图，直线的斜率为，
又，所以，，
不妨设，则，，
所以椭圆C的离心率.
解法2：如图，直线的斜率为，
又，所以，，
故椭圆C的离心率.
10.设、是椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆的4个交点和、恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，由题意，是正六边形，所以，，，故椭圆E的离心率.
11.已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.
【答案】
【解析】如图，
显然四边形是矩形，所以，
由题意，，所以，
设，则，所以，
又点P在第一象限，所以，
故，即，所以，
椭圆C的离心率
，
由可得，所以，故.
②综合应用
一、单选题
1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.
【详解】由题意，，，即，，
整理可得，，则，解得.
故选：A.
3．已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由椭圆定义得到，从而利用面积列出方程，得到，求出的内切圆半径的最大值.
【详解】设内切圆的半径为，
由题意得：，，，故，
因为为椭圆上的一点，故，
所以，
又，
则，所以．
故选：C
4．已知点在椭圆上，点分别为椭圆的左､右焦点，并满足面积等于4，则等于（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】根据，得到三点共圆，且，再根据面积等于4，结合椭圆的定义求解.
【详解】如图所示：
由条件可知三点共圆.
且以为直径.故.
设，
则，
解得.
因为点在椭圆上，
所以，
联立以上式子可解得：
，
故选：C.
5．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在中，利用余弦定理求得，再由求解.
【详解】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4，
所以，
在中，由余弦定理得：，
，
解得 ，
所以 ，
，
解得，
故选：D
6．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得焦点三角形为直角三角形，结合勾股定理与椭圆定义可得，再由面积公式可得齐次方程，进而求出离心率
【详解】由得，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即，
故E的离心率为.
故选：C.
7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
8．，是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，的周长为l，由椭圆的定义可得，根据面积法求得的内切圆半径，又的面积等于的面积的4倍，列出方程可得的关系，从而可得离心率.
【详解】设椭圆方程为： ， ，是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，
设，，，的周长为l，由椭圆的定义可得，
的内切圆半径，，
所以 解得： ，即离心率.
故选：A
9．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得F1PQ为等边三角形，且轴，从而可得解.
【详解】由椭圆的定义，，
由余弦定理有：
，
化简整理得：，
又，
由以上两式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，
所以.
故选：B.
10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形的面积公式，结合椭圆的定义和基本不等式求解即可.
【详解】由题意得，
而，则有，
由椭圆定义可得，当且仅当，即时取等号，
于是有，则，又，即有，所以椭圆的离心率的取值范围为.
故选：A.
11．已知，分别是椭圆E：（）的左、右焦点，点M在椭圆E上，，的面积为，则椭圆E的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义与三角形的面积公式即可列出关于，的方程，利用基本不等式即可列出关于a，c的不等式，即可求出离心率e的取值范围；
【详解】由椭圆的定义知，，
∵，
∴，
∵，
当且仅当时取等号，
∴，故，即，
∴，又，
∴，
故选：D．
12．已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，，，设内切圆的半径为，根据等面积法得到，即可得到的最大值，从而求出，即可求出椭圆的离心率；
【详解】解：由椭圆，可得，，，则，
如图，
设内切圆的半径为，
，
，则，
要使内切圆半径最大，则需最大，
，
又内切圆半径的最大值为，即，解得，所以．
则椭圆的离心率
故选：B．
二、填空题
13．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据有.即可求出，进而求出三角形的面积.
【详解】
由已知可得，，，所以，.
因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，，
所以.
又，所以为直角三角形，则，
所以，所以.
故答案为：3.
14．为椭圆上的一点,和是其左右焦点,若,则的面积为 .
【答案】
【分析】先利用椭圆定义和余弦定理证明焦点三角形的面积公式,再代入数据计算即可.
【详解】设,由椭圆定义
在中,由余弦定理得.
即
所以,,所以
故.
由题知
故答案为：
15．设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则 ．
【答案】
【分析】在中，利用余弦定理结合椭圆的定义建立含的关系等式，再与三角形面积关系联立即可求解.
【详解】在椭圆中，长半轴，半焦距，由椭圆定义得，
在中，由余弦定理得：，
即：，则，
又的面积为，则，即，
于是得，两边平方得，
解得，则，
所以.
故答案为：
16．已知点是椭圆上的点，点是椭圆的两个焦点，若中有一个角的大小为，则的面积为 ．
【答案】或/或
【分析】由椭圆方程可求得；当时，由焦点三角形面积公式可求得；当时，利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可得结果.
【详解】由椭圆方程知：，，则；
若，则；
若，设，则，
由余弦定理得：，解得：，
；
同理可得：当时，.
综上所述：的面积为或.
故答案为：或.
17．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值.
【详解】由题可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得为直角三角形．
又的面积为4，设，，
则解得
所以椭圆的标准方程为．
18．已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为 .
【答案】
【分析】由题意列方程组解出点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径
【详解】由已知条件得，，，则（－1，0），（1，0）.
设点P的坐标为（，），则，
，即①，
∵第一象限点P在C上，
∴则，即②，
联立解得
由椭圆的定义得
设的内切圆半径为r，则
又∵，
∴，即.
故答案为：
19．已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，若，且的面积为，则的方程为 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，结合椭圆的离心率可求得的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】设，，由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得
，
所以，，则，
所以，，又因为，可得.
因此，椭圆的方程为.
故答案为：.
20．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】先由求得，再利用求得，即可求出离心率.
【详解】
由于椭圆关于原点对称，不妨设点在轴上方.设点纵坐标为，点纵坐标为，内切圆半径为，椭圆长轴长为，焦距为，
则，得，又，
即，又，化简得，即，
解得，可得离心率为.
故答案为：.
21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设则，可得，再结合
即可求得范围.
【详解】设，，，
则，
若存在点使三角形的面积为，
则，可得，
因为，所以，
即，可得，
整理可得：，
所以，解得：，
所以，
所以椭圆的离心率的取值范围是：，
故答案为：
2.双曲线中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、单选题
1.已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ）
A.B.C.D.2
【答案】A
【解析】解法1：如图，不妨设，，
则，所以.
解法2：
.
二、填空题
2.已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.
【答案】
【解析】解法1：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
不妨设，则，双曲线C的离心率.
解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
所以.
3.已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，，则双曲线C的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，由题意，，，
所以.
4.已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.
【答案】
【解析】解法1：如图，是正三角形，不妨设，则，，
离心率.
解法2：如图，是正三角形，，，
所以双曲线C的离心率.
5.过双曲线的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，设双曲线C的右焦点为，
是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
不妨设，则，，
所以C的离心率.
②综合应用
一、单选题
1．已知：双曲线的左、右焦点分别为，，点为其右支上一点，若，则的面积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据双曲线中，焦点三角形的面积公式求解即可.
【详解】由双曲线焦点三角形面积公式可得：
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线焦点三角形面积的求解，属基础题.
2．已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据且，，，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a即可.
【详解】解：设双曲线的半焦距为.
由题意，点在双曲线的右支上，，，
由余弦定理得，
解得，即，，
根据双曲线定义得，
解得，
故双曲线的离心率.
故选：D
3．设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.
【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，
因，由双曲线定义得，解得，，
显然有，即是直角三角形，
所以的面积.
故选：A
4．设F1，F2是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△PF1F2的面积为9，则C的离心率等于（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件，结合双曲线的简单性质求出，由此可求出双曲线的离心率.
【详解】因为F1，F2是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△PF1F2的面积为9，
所以，解得，
所以，得，
故双曲线的离心率为.
故选：C.
5．设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，利用双曲线的定义求出，进而可求得，利用勾股定理可求出的值，由此可得出双曲线的离心率的值.
【详解】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，

因为为等边三角形，则，所以，，
所以，，则，
所以，，则，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
6．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得，由离心率定义可得.
【详解】如下图所示：
根据题意可设，易知；
由余弦定理可知，可得；
即，
由双曲线定义可知可知，即；
所以离心率.
故选：A
7．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，. 由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.
【详解】，所以，，，
在双曲线上，设，，
①
由，在根据余弦定理可得:
故②
由①②可得，
直角的面积
故选：C.
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上的一点（不同于左，右顶点），且，则的面积是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】由结合正弦定理求得，又由双曲线的定义求出，
再结合余弦定理和面积公式求出的面积即可.
【详解】在中，由正弦定理得，，又，所以，
又，所以.由余弦定理可得，，
所以，所以的面积.
故选：D.
9．设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.
【详解】根据双曲线的标准方程，
得,由直线为双曲线的一条渐近线，
得,解得,得.
由双曲线的定义可得①，
②，
①②可得,
因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,
所以,得.
故选：C.

10．已知过双曲线的左焦点的直线分别交双曲线左､右两支于两点，为双曲线的右焦点，，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，进而在中，利用余弦定理运算求解.
【详解】因为，不妨设，
由，可得，

由双曲线的定义可得，，
即，，则，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，则，所以．故选：B．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为，则，，
所以，，
因为，则，
设，则，则，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因为，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
二、填空题
12．若双曲线的左､右焦点分别为，点M在双曲线上，若的周长为20，则的面积等于 .
【答案】
【分析】不妨设点M在双曲线的右支上，根据双曲线方程及三角形周长求出，.再由余弦定理求出，由同角三角函数的基本关系及三角形的面积公式计算可得；
【详解】解：不妨设点M在双曲线的右支上，由双曲线方程可知，所以.因为，所以.又因为，所以，.在中，由余弦定理可得，所以，故的面积.
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.
13．双曲线上一点与两焦点，的连线互相垂直，则的面积是 .
【答案】
【解析】首先根据题意得到，利用勾股定理得到，结合得到，再计算的面积即可.
【详解】双曲线，，
因为，所以①，
又因为，
所以②，
①②得：，即：.
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线中焦三角形的面积，同时考查了双曲线的定义，属于简单题.
14．双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 .
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质,然后结合双曲线的定义求解；
【详解】
由双曲线的定义可得，
所以取的中点，连接,
又因为为等边三角形，
则,
在直角三角形中，,
即，
解得：，即，
故答案为：.
15．已知双曲线的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】依题意画出图形，根据余弦定理与双曲线的定义建立等量关系求解离心率.
【详解】由对称性，不妨设F为右焦点，则在右支上，设双曲线左焦点为，
依题意，三角形为正三角形，
则，连接，
在中，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案为：.

16．椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点，P为它们的一个公共点，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据椭圆与双曲线共用一对焦点，设双曲线方程，根据椭圆与双曲线的定义可得，，再根据可得勾股定理，结合化简求解即可.
【详解】设，在双曲线中，渐近线为，
即，故，，，
不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：
，由双曲线定义可得：，
因为，∴，
而，
代入可得：，∴.
故答案为：
17．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 ．
【答案】
【详解】依题意，设，则，
在中，，则，
故或（舍去），
所以，，则，故，
所以在中，，整理得，
故.
故答案为：.