2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第9题双纽线综合问题(高三备考)(学生版+解析)

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【辽宁省名校联盟2025届高三12月联合检测】如图，曲线C称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点，和的距离之积为定值，则（ ）
A．若，点在曲线C上
B．若，曲线C的方程为
C．若，曲线C上点的纵坐标的最大值为1
D．若点在上，则

直接根据定义验证可判定A项；利用两点距离公式化简计算轨迹方程即可判定B项；结合B的结论及判别式法并验证特殊情况可判定C项；利用平方式的意义及轨迹方程的变形可判定D项.

易知原点在曲线上，．
对于A项，当时，设曲线与轴正半轴相交于点，
则，解得，故A项正确；
对于B项，设曲线上任意一点坐标为，则，
得，则，所以，
即，故B项错误；
对于C项，由，得，
则，所以，即，
得，由方程有解得，
所以，即，当时，，故C项正确；
对于D项，角度一、由，得，
所以点在上时成立，故D项正确．
角度二、由曲线C的方程得，．
故选ACD项．
（2024·河北石家庄·模拟预测）
1．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
C．周长的最小值为12
D．面积的最大值为
【答案】AD
【分析】求解曲线方程后，利用过原点求得，可判断A；联立方程组，结合其解唯一求出k的范围，可判断B；利用基本不等式求解的范围，即可求解周长范围，判断C；根据面积公式，结合正弦函数性质可判断D.
【详解】由定义，即，
即，该曲线过原点，所以，
又，所以，故选项A正确；
故方程为，
所以曲线C的方程为，
直线与曲线：必有公共点，
因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，
即只有一个解为，
即时，无解，
故，即实数的取值范围为，故B错误；
由，仅当时等号成立，
此时点P在的垂直平分线上，故点P与原点O重合，不能形成三角形，
所以，所以周长，
等号取不到，故C错误；
，
当且仅当，等号成立，此时点P的纵坐标为，
方程可化为，
令，则方程，
由判别式，可得，
故面积能取到最大值，故D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等.
（24-25高三上·河南·开学考试）
2．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线的图象关于原点对称
B．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【分析】选项A，由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断；选项B，利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出范围，再赋值求解整点的坐标即可；选项C，利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断；选项D，联立直线y＝kx与曲线C研究方程根的情况即可．
【详解】A项，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程，
即方程成立，
可得成立，
即点关于原点的对称点也适合曲线方程，
所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；
B项，方程可化为，
令，则方程，
由判别式，可得，
若是整数，则.
令，，解得或3或，有三个整点，，；
令，，解得或5，此时无整点；
所以曲线共经过3个整点，故B错误；
C项，设曲线C上任一点，
当为原点时，到原点的距离为，满足题意；
当不为原点时，，
则由可得，，
所以点到原点的距离，且；
综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故C正确；
D项，直线恒过原点，且曲线C经过，
则直线与曲线至少一个公共点，
又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.
联立，
消得，
当时，方程仅一解，满足题意；
当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，
当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意；
综上，，解得或，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等.
对于C项，由轨迹方程消元结合基本不等式可判定或消元后利用二次函数的性质计算即可.

对于C，
角度一、当时，曲线C的方程为，，，
当时，可取“＝”，曲线C上点的坐标最大值为1；
角度二、由得，
令，
，纵坐标最大值为1．
3．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
【答案】ABD
【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cs∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，
则，，
则，
当位于椭圆的下顶点时取等号，
所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；
对于B，半圆上的点到点的距离都是，
半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；
对于C，是椭圆的两个焦点，
在△PAB中，，由余弦定理知：
，
当且仅当时取等号，
所以cs∠APB的最小值为，故C错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，故D正确．
故选：ABD．
4．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新lg.设计师的灵感来源于曲线C：.其中星形线E：常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（ ）
A．E关于y轴对称
B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C．E上的点到原点距离的最小值为
D．曲线E所围成图形的面积小于2
【答案】ABD
【分析】A由、均在曲线上即可判断；B应用基本不等式即可判断；C由，结合立方和公式及B的结论即可判断；D根据与图形的位置关系判断.
【详解】若在星形线E上，则也在E上，故E关于y轴对称，A正确；
由，则当且仅当时等号成立，B正确；
由，当且仅当时等号成立，故E上的点到原点距离的最小值为，C错误；
曲线E过，，由，则在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成图形的面积小于2，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有，由及立方和公式求两点距离，利用与图形的位置判断面积大小.
对于C项，利用等面积法表示焦点三角形，结合正弦函数的值域计算并验证即可.

对于C项，解焦点三角形，
设，，，则，
∴纵坐标最大值为1，此时．
（24-25高三上·广东·开学考试）
5．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线的方程是
B．曲线关于坐标轴对称
C．曲线与轴没有交点
D．的面积不大于
【答案】ABD
【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D.
【详解】设，由，
得，
化简得，故A正确；
该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确；
在方程中，令得，
当时，或，当时，，当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
6．2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）
A．双纽线是中心对称图形
B．
C．双纽线上满足的点有2个
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】A.先由双纽线的定义得到方程，将 替换方程中的 判断；B. 由求解判断；C. 由方程令求解判断；D. 由 ，结合余弦定理判断.
【详解】由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，
则双纽线的方程为，
将替换方程中的，方程不变，
故双纽线关于原点成中心对称，故A正确；
由等面积法得，则，
所以，故B正确；
令，得，解得，
所以双曲线上满足的点有一个，故C错误；
因为，所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
对于C项，借助轨迹方程结合柯西不等式可判定；对于D项，联立曲线轨迹方程与，由平方式的意义确定，结合图形的几何意义可判定.

对于C，
∴，即
取等条件为
即，此时，满足，∴
选项D，
有
即
联立得
，有
故曲线在及直线中间有
（24-25高二上·四川南充·期中）
7．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”对应着数学曲线中的双纽线. 在平面上，把到两个定点，距离之积等于()的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线：，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）

A．曲线上满足的点有且只有一个
B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
【答案】AD
【分析】由推得，代入曲线C方程求解即可判断A；结合方程，求解整点坐标可判断B；联立方程组，结合解的唯一性求出的取值范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D
【详解】若曲线C上点P满足，则点P在的垂直平分线上，即y轴上，故，代入曲线C方程得，解得，
所以这样的点仅有一个，故A正确；
令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
故曲线C经过整点只能是，故B错；
易知直线与曲线C：一定有公共点，
若直线与曲线C只有一个交点，
则只有一个解，
即只有一个解为，
即时，无解
故，即实数的取值范围为 ，故C错；
由可得，
当且仅当时取等号，
曲线上任意一点到坐标原点的距离，故D对；
故选：AD
利用参数方程结合三角函数的性质可判定D项，再根据同角三角函数的平方关系及二次函数的性质可判定C项.

设曲线C上点，由，∴
化简得
令，则
，∴
∵，∴，∴或
此时，∴，故D正确
C：当时，，y最大，则，
∴，
当时，，故C正确.
（2023·内蒙古呼和浩特·二模）
8．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新lg（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有 ．
①曲线关于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8
【答案】①②③
【分析】确定，在曲线上，①正确，曲线在一个长为，宽为的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案.
【详解】曲线：，
对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线关于轴和轴对称，正确；
对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部，故其面积小于，正确；
对③：设曲线上一点为，则，设，
到原点的距离的平方为，，
，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确.
对④：对于曲线和椭圆，设点 在上，
点在上，
，故， 所以，
设点在上，点在上，
，所以，即，
故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图：
设直线交椭圆 于两点，交轴于，
为椭圆的两个焦点，
由椭圆的定义可知：，，
所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误；
故答案为：①②③
【点睛】关键点睛：本题考查了超椭圆的概念，对称性，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定椭圆在曲线内，再利用椭圆的知识求解是解题的关键.
9．Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DminiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数.是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线.若，.动点满足.则动点的轨迹的方程为 ；若和是轨迹与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为 .
【答案】 ；
【分析】设，代入，化简即可得到动点的轨迹的方程；进而求出，的坐标，然后将问题转化为求点的纵坐标的最大值，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：设，
，
，即，
动点的轨迹的方程为：；
令，可得，解得或，所以，
由对称性，只考虑第一象限的部分，
为定值，
面积最大时，即点的纵坐标最大，
又，
，
令，则，因为，所以，，
令，
当时，取得最大值，即，
，
，
面积的最大值为．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：第二空解题的关键是利用第一空求出的动点的轨迹方程，求出点的纵坐标的平方的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求出点的纵坐标的最大值，从而面积的最大值可求．
（24-25高三上·云南·阶段练习）
10．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上
B．点在上，则
C．点在椭圆上，若，则
D．过作轴的垂线交于两点，则
【答案】ACD
【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D.
【详解】对于A，，由定义知，A正确；
对于B，由点在上，得，
化简得，解得，，B错误；
对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与，
则，由，得，
则，，C正确；
对于D，设，则，而，则，
又，
则，化简得，解得，，
因此1，，D正确.
故选：ACD
（2024·辽宁鞍山·二模）
11．在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】对A，根据折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，可判断对错；
对B，根据折线距离的定义，写出，利用基本（均值）不等式可判断对错；
对C：利用圆的参数方程，结合折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，结合三角函数的最值，可判断对错；
对D：利用抛物线的参数方程，，结合折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，结合二次函数的值域，可判断对错.
【详解】对A：设，则（当且仅当时取“”）.故A错；
对B：设，则.则，故B对；
对C：设，，则
（当且仅当，时取“”）.故C对；
对D：设，，则
（当且仅当时取“”）.故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“折线距离”的理解，根据新定义，写出折线距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值.
（23-24高二上·福建莆田·期中）
12．小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（ ）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．动点P的横坐标的取值范围是
C．的取值范围是
D．的面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】设，由题设可得曲线C为，将、、代入即可判断；令，由在上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断；由②分析可得，进而求范围判断；由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三角形面积公式求最值判断.
【详解】令，则，
所以，则，
将、、代入上述方程后，均有，
所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
令，则，
对于，对称轴为，
所以在上递增，要使在上有解，只需，
所以，即，可得，正确；
由，由中，，
所以，其中负值舍去，
综上，，又，即，
所以，则，错误；
由，仅当时等号成立，
的面积，
而，所以，
所以的面积的最大值为，正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：,通过换元，构造，利用根的分布求P的横坐标、的取值范围.
13．已知两定点，（），动点与、的距离比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则最小值为
D．若满足点的轨迹方程，则
【答案】ACD
【分析】设,由,得,与对比,可得且,求解即可判断A，B；对于C，，利用三角形三边关系定理即可判断；对于D，等价于，根据的判别式的符号即可判定
【详解】设,由(且),得
所以
所以
又的轨迹方程为,
所以且,
解得(舍去)或,
所以,所以,所以,故A正确B错误
对于C，
连接交圆于
当且仅当、、三点共线时取等号，故C正确
对于D，
的判别式
因为满足，故设
则
（其中为第四象限角，）
所以
所以在上恒成立
故D正确
故选:ACD
（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）
14．到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题错误的是（ ）
A．曲线过原点B．的横坐标最大值是2
C．的纵坐标最大值是D．
【答案】BC
【分析】对于A，由题求出的轨迹方程，令，计算即可判断；对于B，求出横坐标的取值范围，即可判断；对于C，化简方程可得，即可判断；对于D，令，将化为，结合构造函数，利用导数判断单调性，即可判断.
【详解】由题意知动点满足，，
故，
即，
即，则，
对于A，当时，，即曲线过原点，A正确；
对于B，由，得，
则，解得，即的横坐标最大值是，B错误；
对于C，因为，
当且仅当时取等号，即的纵坐标最大值是1，C错误；
对于D，若，即，
令，则，即，
设，，
即在上单调递增，故，即成立，
故成立，D正确，
故选：BC
（2024·广东广州·二模）
15．双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．当轴时，
D．过点作，垂足为
【答案】ACD
【分析】由题意求出b的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出，K为的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得，判断D.
【详解】对于A，由双曲线可知，右顶点，
其渐近线方程为，右顶点到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线，则，解得，
故双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于B，由于，
故双曲线的离心率为，B错误；
对于C，，当轴时，将代入中，
得，即得，
由于P在双曲线右支上，故，C正确；
对于D，连接并延长交的延长线于E，
由题意知，为的角平分线，结合，
可知，K为的中点，而O为的中点，
故，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线知识的综合应用，解答的关键是选项D的判断，解答时要结合题中所给性质，利用角平分线性质推出K为的中点，即可结合双曲线定义求得答案.
（23-24高二上·河北邯郸·期末）
16．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．该椭圆的蒙日圆的方程为
B．存在点使的面积为25
C．使的点有四个
D．直线的斜率之积
【答案】ACD
【分析】利用设直线方程，联立椭圆方程，结合判别式为0，求出蒙日圆方程判断A；求出的面积的最大值，即可判断B；判断以为直径的圆与椭圆的交点个数，即可判断C；设，求出的表达式，结合椭圆方程化简，求出其值，判断D.
【详解】因为椭圆方程为，故，
当椭圆的两条互相垂直的切线，一条斜率不存在，另一条斜率为0时，
切线分别经过长轴端点和短轴端点，此时切线的交点为；
当椭圆的两条互相垂直的切线斜率均存在时，
设两切线交点为，切点为，切线方程设为，
联立，整理得，
由于直线与椭圆相切，
故，
即，
由于两切线的斜率即为该方程的两个根，即，
又因为，则，即，
此时两切线交点的轨迹方程为，而也适合该方程，
故该椭圆的蒙日圆的方程为，A正确；

当Q点位于圆与y轴的交点处时，取到最大值，
最大值为,
即不存在点使的面积为25，B错误；
由于，故以为直径的圆的方程为，
而椭圆的短半轴长为，故圆与椭圆有四个交点，正确；
由题意知，设，则，故，
故，D正确.
故选：ACD.
17．卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是 .
①卵圆关于轴对称
②卵圆上不存在两点关于直线对称
③线段长度的取值范围是
④的面积最大值为
【答案】①③④
【分析】利用点和均满足方程，即可判断①；设和都在卵圆上，再解即可判断②；利用两点间的距离公式表示，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出，然后利用导数研究其最值，即可判断④.
【详解】对于①，设是卵圆上的任意一个点，
因为，所以点也在卵圆上，
又点和点关于轴对称，
所以卵圆关于轴对称，故①正确；
对于②，设在卵圆上，关于直线对称的点也在卵圆上，
则，解得或，
所以卵圆上存在两点关于直线对称，故②错误；
对于③，由，得，
所以，又，所以，
设点，
则，
令，
则，
令，则或，
当或时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又，
且，
所以，即，
所以，故③正确；
对于④，点，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
此时的面积取得最大值，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.
18．对于曲线，若存在非负实常数和，使得曲线上任意一点有成立（其中为坐标原点），则称曲线为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界成为曲线的外确界，最大的内界成为曲线的内确界．
（1）曲线与曲线是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线上任意一点到定点，的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．
【答案】（1）曲线不是“有界曲线”，理由见解析；曲线是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）当时，曲线的外确界与内确界分别为，；当时，曲线的外确界与内确界分别为，；
当时，曲线的外确界与内确界分别为，．
【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；
（2）由题意求出曲线的方程，进一步得到的范围，把转化为含有的代数式，分类讨论得答案．
【详解】（1）的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为，无最大值，
∴曲线不是“有界曲线”；
∵曲线的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图：
由图可知曲线上的点到原点距离的最小值为，最大值为，则曲线是“有界曲线”，其外确界为，内确界为；
（2）由已知得：，
整理得：，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
则，
∵，
∴，
即，
当时，，则，
∴，则曲线的外确界与内确界分别为，；
当时，，则，
∴，则曲线的外确界与内确界分别为，；
当时，，则，
∴，则曲线的外确界与内确界分别为，；
当时，，则，
∴，则曲线的外确界与内确界分别为，．
综上，当时，曲线的外确界与内确界分别为，；
当时，曲线的外确界与内确界分别为，；
当时，曲线的外确界与内确界分别为，．
【点睛】本题考查了对新概念的理解和求最值的方法，考查了转化化归和分类讨论的思想，属于难题.
19．如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.
（1）证明：的左焦点是“型点”；
（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：内的点都不是“型点”.
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.
【详解】试题分析：（1）由题意的左焦点为，过的直线与、交于，即可判定，得出直线方程；
（2）联立方程组和，根据方程有解，即可求解的范围，从而判断原点不是“型点”；
（3）以为边界的正方形区域记为，分点在的边界上，和是区域内的点，两种情况分类讨论，进而说明，联立方程组，得出，得出直线与曲线没有公共点，从而证得结论.
试题解析：
（1）的左焦点为，
过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；
（2）直线与有交点，则，
若方程组有解，则必须；
直线与有交点，则，
若方程组有解，则必须
故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”
（3）以为边界的正方形区域记为.
1）若点在的边界上，则该边所在直线与相切，与有公共部分，即边界上的点都是“型点”；
2）设是区域内的点，即，
假设是“型点”，则存在过点的直线与都有公共点.
ⅰ)若直线与有公共点，直线的方程化为，假设，则，
可知直线在之间，与无公共点，这与“直线与有公共点”矛盾，所以得到：与有公共点的直线的斜率满足.
ⅱ)假设与也有公共点，则方程组有实数解.
从方程组得，
，由，
因为
所以，，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.
证明完毕
另解：
令，因为，所以|，即.于是可知的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是，因为，
所以在区间上为增函数，在上为减函数.
因为，，所以对任意，都有，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.
证明完毕.
点睛：本题考查了双曲线的简单的几何性质，考查了点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的关系，直线圆锥曲线联系在一起的综合题，试题有一定的难度，属于难题，主要涉及到位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想，平时注意总结和积累！