2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第1题两曲线的公切线问题(高三备考)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第1题两曲线的公切线问题(高三备考)(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了思路分析，题后反思，变化角度，举一反三，变换角度等内容，欢迎下载使用。
【湖北省高中名校联盟2025届高三第一次联合测评】已知函数，，其中，当两函数图像对应曲线存在两条公切线时，则的取值范围是______．
【思路分析】
根据反函数的性质，先求解两曲线相切时的临界情况时的值，利用相切和导数可得，构造函数，即可根据函数单调性求解.
令则，令，则，
由于函数互为反函数，故图象关于对称，
因此只需要考虑两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为，
由
故，即，
所以，
设，则，，故有，两边取对并移项，
记函数，易知在上单调递增，
因为，所以，此时，
所以的取值范围是.
【题后反思】根据两函数在相切的的临界情况，设出切点横坐标为，由切点在曲线上及切线的斜率建立方程组得，求解.
对于此类问题关键是要根据题意利用切点既在曲线上也在切线上，以及两曲线的公切线斜率相等利用导数的几何意义建立方程组求解.
变化函数，仍求参数范围
【变化角度】改变原题中的两函数，仍由存在两条公切线求参数取值范围，如下：
例：已知曲线：，：，若恰好存在两条直线直线、与、都相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
设直线，，设与、的切点坐标分别为、，根据题目条件列出方程组，解得，同理可得，然后将问题转化为有两解. 然后构造函数，利用导数讨论的单调性及最值，得出的范围.
设直线，，设与、的切点坐标分别为、，
则有，可得，
故，整理得：，
同理可得，当直线与、都相切时有：，
综上所述，只需有两解，
令，则，
故当时，，
当时，，
所以在上递增，在递减，
故，
所以只需满足即可.
故选：C.
【举一反三】
1．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，，若总存在两条不同的直线与曲线，均相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
切线条数变未知，求参数范围
【变换角度】将“已知公切线条数”问题变为“存在公切线”不知道公切线条数问题，仍求参数范围，如下：
例：已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解.
当时，，，不符合题意；
设的图像与公切线的切点为，，
由，则切线斜率，
切线方程为，即，
又切线与，
联立，
可得，
即，
可得，
设，，
，，
又函数在上单调递减，且，
即有当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减；
所以，
即，的最大值为，
故选：A.
【举一反三】
3．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为 ．
变求参数为求公切线方程
【变换角度】由已知两曲线的方程，求它们的公切线方程，如下：
例：直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知，，直线是与的公切线，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【思路分析】
首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程.
设，的切点分别为，，
，.
所以，即.
又因为，
所以.
整理得，解得：或.
所以的切点为或，或.
切线为或，
即：或.
故选：C
【举一反三】
5．已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．曲线与曲线的公切线方程为 ．
7．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若曲线与曲线：有公切线，则实数的最大值为（ ）
A．+B．-C．+D．
10．若函数与函数的图象有两条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数.若曲线与曲线有公切线，则实数m的取值范围为 .
12．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 .