2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第1题立体几何中的动点问题(高三备考一题多解)(学生版+解析)

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【2024年湖南省长沙部分学校联考高三10月月考】（多选题）如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ）
A．若，则点在圆上 B．若，则点在双曲线上
C．若，则点在抛物线上 D．若，则点在直线上
首先根据题意分别作出角、、、，然后由题意逐项分析求解即可；几何法对空间想象力要求较高，但直观性强，合理利用几何法能提高解决几何问题的效率.
根据题意，分别作出角、、、，如图，
对于A，，则，可得，则点在阿氏圆上，A正确；
对于B，，则，可得，即到直线的距离与到直线的距离相等，也即到直线和到直线的距离相等，则点在或其补角角平分线所在的直线上，B错误；
对于C，，则，可得，即到点的距离和到直线的距离相等，则点在抛物线上，C正确；
对应D，，则，可得，即到点的距离与到直线的距离之比为，则点在椭圆上，D错误．
故选AC．
1．如图，已知正方体的棱长为2，点为棱AB的中点，点在平面内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．若点是的中点，则
B．满足的点的轨迹长度为
C．若动点满足，则PM的最小值为
D．若点到点的距离等于点到直线的距离，且，则
【答案】ACD
【分析】在中，由余弦定理求出可判断A；利用得点的轨迹是以AB为直径的半圆，求出轨迹长度可判断B；点的轨迹是以，分别为左、右焦点，求出可判断C；过点作于点，过点作于点，利用求出可判断D.
【详解】对于A，由题意得，，，四边形是矩形，
则，在中，，
若点是的中点，则，
在中，，，
由余弦定理可得
，故A正确；
对于B，因为，所以点的轨迹是以AB为直径的半圆，
半径长为1，则轨迹长度为，故B错误；
对于C，若点满足，则点的轨迹是以，分别为左、右焦点，
长轴长为，焦距为的椭圆，是椭圆的中心，
则椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长，
由，，得短半轴长为，
则PM的最小值为，故C正确；
对于D，因为点到点的距离等于点到直线的距离，
过点作于点，过点作于点，则，
又，则，则，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用圆、椭圆的定义求轨迹是解题的关键点.
2．如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4
D．若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是
【答案】AC
【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可.
【详解】底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
与所成的角即为与AC所成的角，
当P在端点A，C时，所成的角最小，为，
当P在AC的中点时，所成的角最大，为，故B错误；
由于P在正方体表面上，P的轨迹为对角线，
以及在平面内以为圆心、2为半径的圆弧，
（由于，所以在中，，
即直线AP与平面所成的角为45°，
又由于平面平面，所以直线AP与平面ABCD所成的角为45°）
如图①，故P的轨迹长度为，故C正确；
分别取的中点，
由正方体的性质可知六点共面，且为正六边形，
由中位线定理，，平面，所以平面，
同理平面，且，平面，
所以平面平面，
所以FP所在的平面为如图②所示的正六边形，
当P为BC的中点时，FP的长最小，为，故D错误．
故选：AC.
首先以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，然后根据题意求出有关直线的方向向量和平面的法向量，由线面角和二面角的向量公式分别求解判断即可.
以为坐标原点，所在的直线为轴建系，设正方体棱长为，，则，，面的法向量，面的法向量，面的法向量，
对于A，，则，则，
化简得满足圆方程，A正确；
对于B，，则，则，
化简得，即两条直线方程，B错误；
对于C，，由，得，
化简得满足抛物线方程，C正确；
对于D，，得，
化简得，即，
满足椭圆方程，D错误，
故选AC．
3．如图，在长方体中，，，是与的交点，、分别为下底面、上底面上的点，且.现给出下列结论中正确为（ ）
A．直线与底面所成的角为；B．异面直线与所成角的最大值为；
C．异面直线与所成角的最小值为；D．三棱锥的外接球的体积为.
【答案】ACD
【分析】求得三棱锥的外接球半径，由此判断D选项的正确性.建立空间直角坐标系，借助向量法以及三角换元判断ABC选项的正确性.
【详解】连接交于点，依题意，所以三棱锥的外接球的球心为，半径为，外接球的体积为，D选项正确.
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.
设，，
则，①.
对于A选项，底面的法向量为，设直线与底面所成的角为，则，由于，所以，A正确.
对于BC选项，，，设异面直线与所成角为，则②，
不妨设点与点重合，则，代入①②并化简得
，
由，得，
设，则，
则，所以B选项错误.
当时，，此时最小，而，所以的最小值为，所以C选项正确.
故选：ACD
4．如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱上靠近点的三等分点，则下列结论正确的有（ ）

A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若，点的运动轨迹是线段
C．若，则点在侧面内运动路径长度为
D．当点与点重合时，三棱锥的体积最大
【答案】ABD
【分析】展开平面分析可判断A，利用空间直角坐标系得到轨迹方程可判断B，利用向量坐标表示表示模长，得轨迹为圆即可判断C，利用点到直线的距离公式可判断D.
【详解】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，连接，

则，因此A到点P的最短路程为，对；
对于B，建系如图，设，

所以，，即，
又是侧面上的一个动点（含边界），所以M的运动轨迹是线段，
为靠近点的三等分点和靠近点三等分点的连线段，对；
对于C，由B选项过程可得，整理得，
所以M在侧面内运动路径是以为圆心，为半径的圆，
而点到的距离等于，
所以要保持，则点M在侧面外，
所以点M在侧面内运动路径长度为0，错；
对于D，设平面的法向量为，则，
所以，令，则，
所以点到平面的距离等于，
因为点在平面内，所以，
当，即M与D点重合时，三棱锥的高最大，
又的面积为定值，所以M与D重合时，三棱锥的体积最大，对.
故选：ABD
5．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】找出点在平面内的轨迹，再根据过直线外一点垂线段最短，求出线段的长度的最小值即可.
【详解】设点分别为棱，的中点，连接，可证明点，
事实上，在底面正方形中，可知，
因为平面，平面，所以平面；
在底面正方形中，可知且，
又因为且，所以且，
则四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
又因为平面，所以平面平面，
因为平面且平面，所以平面，
因为平面平面且点平面、平面，
所以，即M点的轨迹为线段；
由于正方体棱长为2，故三角形为等腰直角三角形，且为斜边，，
所以当点为的中点时，即时，线段的长度最小且最小值为.
故选：A
6．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为均不为.若，则动点 的轨迹为
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分
【答案】B
【详解】
由线面角的定义及题意可得，即，以线段为轴，其中垂线为轴，如图，建立平面直角坐标系，设，则，所以，即，则动点的轨迹是圆，故应选答案B．
点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用．
7．已知正方体中，为正方形的中心．为平面上的一个动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的轨迹是圆
B．若，则的轨迹是椭圆
C．若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线
D．若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线
【答案】BCD
【分析】根据题意，分别表示四个选项，利用定义和数形结合进行判断.
【详解】

建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，
对于A，，，，
，则，即
即，所以的轨迹是点，故A错误；
对于B， ，所以可以看成为以为高线圆锥的母线，
当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线；
当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线；
当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆；
当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆；
当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点；
当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线；
如图所示，

根据题意，平面不过圆锥的顶点,且与圆锥面的一侧相交，所以所形成的轨迹为椭圆,
故B正确；
对于C，若到直线，距离相等，面， 面，
所以，所以到直线的距离为到点的距离，
则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故C正确；
对于D，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，
过向作垂线，垂足为，此时，
若到直线，距离相等，即，则，
即，则的轨迹是双曲线，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解.
8．如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点，且与所成角为，则下列命题正确的是（ ）

A．动点的轨迹长度为
B．当//平面时，与平面的距离为
C．直线与底面所成角的最大值为
D．二面角的范围是
【答案】AC
【分析】选项A根据与所成角为求出，从而确定动点的轨迹并求出长度；选项B利用等体积法即可求得；选项C根据直线与平面所成角的定义找到直线与底面所成角，再计算最大值即可；选项D通过点在特殊位置时求出二面角的平面角超出选项范围进行排除.
【详解】正四棱柱中，底面是正方形，侧棱垂直于底面.
对于A选项，因为且与所成角为，所以与所成角也为.又，.
又在底面内，的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，长度为.故选项A正确；
对于B选项，当//平面时，到平面的距离即为与平面的距离..
，
在中，，边上的高为2，
设到平面的距离为，则，
解得.故选项B错误；
对于C选项，连接，则线段为线段在底面的投影，故直线与底面所成角为，且,
由选项A可知，当为正方形中心时，最短为1，此时最大为,即.故选项C正确；

对于D选项，当在线段上时，，，
因为是等腰三角形，所以取中点，连接，则.
过作交于点，分别连接，则，故四边形是等腰梯形，取中点，则，所以是二面角的平面角.
在四边形中，，，故.又，故.
由选项B知，.
在中，由余弦定理得，
所以，故选项D错误.
故选：AC.

9．如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B．对于任意，平面
C．动点到直线的距离最小值为
D．满足的的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】由正方体中平面平面可得到平面的距离为定值即可判断A；由点运动到点时不垂直于可判断B；建系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，可得的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径可判断D．
【详解】对于选项A，易知在正方体中，平面平面，故动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故A正确；
对于选项B，当运动到点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故B错误；
对于选项C，以点为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，设，设（题眼），，，，，，则，故，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则（关键：主元法求最值），当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确；
对于选项D，设到平面的距离为，由等体积法得，则，解得．如图2，取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上．由选项C，可设平面内点，，又，，则解得所以，取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，又，即，则，则，即，则，所以（提示：利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，则，则，则以为圆心的圆弧所对圆心角，故轨迹长为，故D正确．
故选：ACD．
10．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为α，β，且sinβ＝2sinα，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．Q为BC中点
B．线段PA1长度的最小值为5
C．存在一点P，使得PQ∥平面AB1D1
D．若P在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面，则点P的轨迹长度为
【答案】BD
【分析】A选项：建立空间直角坐标系，设，求出点的轨迹是以为球心，以2为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，进而可判断A选项；
B选项：设球心，则，所以线段长度的最小值为，从而可判断B正确；
C选项：证得球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，所以与球没有交点，进而可判断C选项；
D选项：证得球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，球与正方形的交线为弧，进而求出弧长，即可判断D选项.
【详解】A选项：如图所示，建立空间直角坐标系，设，过点作平面，垂足为，连接，则，由题意可知，所以，因为，所以，即，所以点的轨迹是以为球心，以2为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，由题意得当为中点时不满足题意，故A错误；
B选项：设球心，则，所以线段长度的最小值为，故B正确；
C选项：由题知，过点作交于点，过点作交于点，所以,平面,平面，所以平面，同理平面，又， 平面，所以平面平面，所以，设球与棱的交点为，与的交点为，,，所以球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，所以与球没有交点，所以不存在点，使得面，故C错误；
D选项：因为球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，球与正方形的交线为弧，由于，所以，所以弧=弧=，弧=，所以点在正四棱柱表面，则点的轨迹的长度为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
11．如图，在棱长为的正方体中，、、分别是棱、、的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，设直线与直线所成角为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题首先可以补全截面为截面，然后根据题意以及正方体性质得出平面平面以及，再然后找出即为直线与直线所成角并求出的取值范围，最后根据即可得出结果.
【详解】如图，补全截面为截面，
因为直线与平面不存在公共点，
所以平面，
结合正方体性质易知平面平面，故，
因为在正方体中，，
所以即为直线与直线所成角，
连接，则，
因为在中，，
所以，，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，考查线面平行以及面面平行的应用，能否准确的找出点的运动轨迹是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.
12．在正方体中，M为棱的中点，且，点P为底面所在平面上一点，若直线PM，PC与底面所成的角相等，则动点P的轨迹所围成的几何图形的面积为 .
【答案】
【分析】由题意结合线面角的概念可得，进而可得，建立平面直角坐标系，设，由两点之间距离公式可得，化简即可得解.
【详解】设正方体的棱长为，
连接，则，解得，
连接、，如图，
易得、即为直线PM，PC与底面所成的角，
由可得，所以，
如图建立平面直角坐标系，则，，设，
则，化简得，
故点P的轨迹为圆，且半径满足，
故所求面积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方体的几何特征的应用及线面角的求解，考查了两点之间距离公式及圆的方程的应用，属于中档题.