数学八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用第2课时综合训练题

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一、基础巩固
1.现有长度分别为6 cm和8 cm的两根小棒,在下列长度的小棒中,能与这两根小棒组成直角三角形的是( )
A.7 cmB.8 cmC.9 cmD.10 cm
2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长的平方之比为9∶25∶16
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三内角之比为3∶4∶5
3.木工师傅要做一个长方形(四个角都是直角)桌面,做好后量得长为2.4 m,宽为1 m,对角线长为2.6 m,则这个桌面__________.(填“合格”或“不合格”)
4.如图,∠BAC=90°,AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,则∠DBA=__________.
5.某探险队的A组从驻地O点出发,以12 km/h的速度前进,同时B组也从驻地O点出发,以9 km/h的速度向另一方向前进.2 h后同时停下来,如图所示,这时A,B两组相距30 km.此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由.
6.如图,在四边形ABCD中,DA⊥AB,DA=AB=2,BC=5,DC=1,求∠ADC的度数.
二、能力提升
7.某超市购物车的侧面简化示意图如图所示.测得支架AC=80 cm,BC=60 cm,两轮中心的距离AB=100 cm,则点C到AB的距离为__________cm.
8.如图,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动;同时点Q从点B出发以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动,当移动时间为3 s时,求△BPQ的面积.
三、思维拓展
9.如图,在等腰三角形ABC中,已知AB=AC,BC=20 cm,D是边AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm.求:
(1)AD的长;
(2)△ABC中BC边上的高.
参考答案
1.D 2.D
3.合格 4.45°
5.解 A,B两组行进的方向成直角.理由:
根据题意,OA=12×2=24(km),
OB=9×2=18(km),AB=30 km.
因为242+182=302,即OA2+OB2=AB2.
所以A,B两组行进的方向成直角.
6.解 如图,连接BD,
∵DA⊥AB,AD=AB=2,
∴∠ADB=45°,
在Rt△ADB中,根据勾股定理,BD2=AD2+AB2=(2)2+(2)2=4,
在△CDB中,CB2-DC2=(5)2-12=4=BD2,∴BD2+DC2=CB2,
∴∠CDB=90°,
∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+90°=135°.
7.48 解析 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,
∵AC=80 cm,BC=60 cm,AB=100 cm,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
∴△ABC的面积=12AC·BC=12AB·CD,
∴80×60=100CD,
解得CD=48,
即点C到AB的距离为48 cm.
8.解 设AB为3x cm,则BC为4x cm,AC为5x cm,根据题意,得AB+BC+AC=36 cm,
即3x+4x+5x=36,
得x=3,
∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm,
∴AB2+BC2=92+122=152=AC2,
∴△ABC是直角三角形,
当移动时间为3 s时,BP=9-1×3=6(cm),BQ=2×3=6(cm),
∴S△PBQ=12BP·BQ=12×6×6=18(cm2).
故当移动时间为3 s时,△BPQ的面积为18 cm2.
9.解 (1)∵BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,122+162=202,
∴BD2+CD2=BC2,
∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°.
设AD=x cm,则AC=AB=(x+12)cm,
在Rt△ADC中,由勾股定理,得AD2+CD2=AC2,
即x2+162=(x+12)2,
解得x=143,
即AD=143 cm.
(2)由(1)知AB=AC=143+12=503(cm).
如图,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE是△ABC中BC边上的高.
∵AB=AC,BC=20 cm,
∴BE=CE=12BC=10(cm).
在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=AB2-BE2=(503) 2-102=403(cm),
即△ABC中BC边上的高是403 cm.