初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用第1课时课堂检测

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一、基础巩固
1.下列各组数是勾股数的一组是( )
A.1,2,3B.2,3,4
C.12,13,14D.21,28,35
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2-b2=c2,则下列说法正确的是( )
A.∠C是直角B.∠B是直角
C.∠A是直角D.∠A是锐角
3.如图,每个正方形小网格的边长为1,则网格中的△ABC是( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
4.将直角三角形的三条边的长度同时扩大5倍,得到的三角形是( )
A.锐角三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.钝角三角形
5.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其摆法的示意图如图所示,其中正确的是( )
A . B . C . D .
6.若一个三角形的三边长分别为3,x,5,则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
7.已知一个三角形的三边长分别为9,12,15,求这个三角形的面积.
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.如果CD=1,AD=3,BD=9,那么△ABC是直角三角形吗?请说明理由.
二、能力提升
9.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形网格的顶点上,线段AB,CD相交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于( )
A.180°-αB.180°-2α
C.90°+αD.90°+2α
10.如图,在△ABC中,AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别交于点D,E,且CB2=AE2-CE2.
(1)求证:∠C=90°;
(2)若AC=8,BC=6,求CE的长.
三、思维拓展
11.在一次“构造勾股数”的探究性学习中,老师给出了下表:
其中m,n为正整数,且m>n.
(1)观察表格,当m=2,n=1时,此时对应的a,b,c的值能否为直角三角形三边的长?说明你的理由.
(2)探究a,b,c与m,n之间的关系,并用含m,n的代数式表示:a=__________,b=__________,c=__________.
(3)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形吗?如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例.
参考答案
1.D 2.C 3.A 4.C 5.C
6.4或34
7.解 因为92+122=81+144=225,152=225,所以92+122=152,
所以这个三角形是直角三角形,且9,12分别为两直角边长,所以这个三角形的面积为12×9×12=54.
8.解 △ABC是直角三角形.理由:
在Rt△ACD中,CD=1,AD=3,
根据勾股定理,AC2=CD2+AD2=10.
在Rt△ABD中,AD=3,BD=9,
根据勾股定理,AB2=AD2+BD2=90.
∵BC=CD+BD=10,∴BC2=100,
∴AC2+AB2=100=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
9.C 解析 如图,过点B作BG∥CD,且BG=CD,连接EG,
因为BG∥CD,所以∠ABG=∠CFB=α.
因为BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,所以BG2+BE2=EG2,
所以△BEG是直角三角形,且∠GBE=90°,
所以∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.
故选C.
10.(1)证明 如图,连接BE,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵CB2=AE2-CE2,
∴CB2=BE2-CE2,
∴CB2+CE2=BE2,
∴∠C=90°.
(2)解 设CE=x,则AE=BE=8-x,
在Rt△BCE中,根据勾股定理,得EC2+BC2=BE2,
即x2+62=(8-x)2,
解得x=74,
即CE=74.
11.解 (1)当m=2,n=1时,a=5,b=4,c=3,
因为32+42=52,
所以a,b,c的值能为直角三角形三边的长.
(2)m2+n2 2mn m2-n2
(3)以a,b,c为边长的三角形一定是直角三角形.理由:
因为a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,
b2+c2=(2mn)2+(m2-n2)2=4m2n2+m4-2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4,
所以a2=b2+c2,
所以,以a,b,c为边长的三角形一定是直角三角形.m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22-12
32-12
32-22
42-32
…