2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题03函数的二级结论的综合应用究的基本应用(培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题03函数的二级结论的综合应用究的基本应用(培优讲义)(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了核心解题方法，实用解题技巧，填空题等内容，欢迎下载使用。

◇方法技巧01函数的二级结论的综合应用做题方法
一、核心解题方法
结论匹配法：先拆解题目条件（如函数类型、已知关系、待求目标），快速检索 “结论 — 条件” 清单，精准匹配适配结论（例：双变量最值问题优先用对称构造结论）；
条件转化法：若题目条件不直接适配结论，通过变量代换、构造辅助函数、等价变形（如不等式移项、对数换底），转化为结论适用场景；
数形结合法：借助函数图像、渐近线、零点分布等二级结论，可视化分析参数范围、零点个数，降低抽象问题难度；
逻辑验证法：应用结论后，通过基础定义或定理反向验证（如用导数推导验证极值点偏移结论的正确性），避免结论滥用。
二、实用解题技巧
标注结论 “触发条件”：解题时先圈出结论成立的关键条件（如定义域、函数连续性），再代入应用；
多结论交叉验证：复杂题型可同时调用多个二级结论（如奇偶性 + 周期性 + 单调性），交叉验证结果；
陷阱规避技巧：遇到参数问题先定定义域，再用结论；涉及分段函数需分段适配结论，避免跨区间套用；
快捷模板套用：总结高频题型模板（如恒成立问题 “结论 + 最值转化” 模板），缩短解题思考时间。
◇题型01函数的值域
典｜例｜精｜析
典例1．已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为_________________．
典例2．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是______________.
典例3．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于_________________.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是________________．
变式2．设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则_______________．
变式3．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为_________________.
◇题型02新定义函数
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
典例2．（多选）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，则称为函数的不动点，则下列函数一定存在不动点的是（ ）
A．
B．（a为常数）
C．
D．
典例3．（多选）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A．，是“正方和谐函数”
B．若为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“凸函数”.下列函数是凸函数的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（多选）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为“类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（多选）琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，有
B．若，有
C．若，则
D．若，则
◇题型03抽象函数的四大性质
典｜例｜精｜析
典例1．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
典例3．（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为R，且满足，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．f（1）=3
C．D．
变式3．（多选）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线与函数的图像有1个交点
D．函数的值域为
变式4．已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ）
A．若的周期为1，则满足性质
B．若，则不满足性质
C．若（且）满足性质，则
D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称
变式5．（多选）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
◇题型04具体函数的四大性质及应用
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知，则下列选项中正确的是（ ）
A．是函数的零点
B．的极大值点为
C．的图象关于点中心对称
D．使得
典例2．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A．共有5个零点
B．共有4个极值点
C．
D．当时，方程有且仅有4个实数根
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则，
B．函数既有极大值又有极小值
C．若是的极大值点，则在区间单调递增
D．当时，函数有三个零点时
变式2．（多选）已知偶函数满足：当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．D．函数在区间上有零点
变式3．（多选）已知函数，其中，且当时，，则（ ）
A．
B．是的极小值点
C．若关于的方程有3个不同的实数根，则
D．若对任意都有，则
◇题型05具体函数的性质及不等式
典｜例｜精｜析
典例1．我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心B．有对称中心
C．有对称轴D．有对称轴
典例2．已知函数满足，若函数与图象的交点为、、、，则（ ）
A．B．
C．D．
典例3．已知，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
典例4．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．,，当时，均有
C．的图像关于点对称
D．至少有2个零点
变｜式｜巩｜固
变式1．设函数，，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．0B．
C．D．
变式2．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
变式4．19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（ ）
A．都有
B．函数和均不存在最小正周期
C．函数和均为偶函数
D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个
◇题型06赋值法求解函数性质
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
典例2．（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称D．是的一个周期
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）已知，，则（ ）
A．B．恒成立
C．D．满足条件的不止一个
变式2．（多选）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则（ ）
A．B．是奇函数
C．是奇函数D．恒成立
变式3．函数满足：①②，．则的最大值等于_________________．
◇题型07函数零点及应用
典｜例｜精｜析
典例1．函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．取值范围为
典例2．已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
典例3．已知函数，，则方程的所有实数解的和是（ ）
A．6B．4
C．2D．1
变｜式｜巩｜固
变式1．已知函数，，若，则下列各式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
◇题型08函数不等式及应用
典｜例｜精｜析
典例1．设函数，若，则满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．1
变式2．（多选）对，不等式恒成立，则（ ）
A．若，则的取值范围为
B．若，则
C．若，则
D．若，则的取值范围为
一、单项选择题
1．（2014·江西·高考真题）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．1D．2
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．
C．1D．2
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2026·云南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
6．（2025·河北·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2026·海南海口·一模）已知，设满足方程，满足方程，则（ ）
A．aB．2a
C．1D．2
8．（2026·陕西咸阳·一模）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题
9．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．当且仅当D．是的极大值点
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为________________．
13．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是________________.
14．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为________________．
目录
第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考
第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法
第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固
【题型01】函数的值域
【题型02】新定义函数
【题型03】抽象函数的四大性质
【题型04】具体函数的四大性质及应用
【题型05】具体函数的性质及不等式
【题型06】赋值法求解函数性质
【题型07】函数零点及应用
【题型08】函数不等式及应用
第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦
函数二级结论是基于基础定义、定理推导的快捷结论，其综合应用是高考数学的高频考点，核心聚焦三大方向：一是单调性与最值的二级结论应用，如导数法推导的“极值点偏移模型”“双变量最值的对称构造结论”，常结合不等式恒成立、能成立问题考查，需快速转化变量关系；二是奇偶性与周期性的复合结论，例如“若为奇函数，则”“周期函数的叠加结论”，多与抽象函数、分段函数结合，侧重奇偶性与周期性的互推互用；三是函数图像与零点的二级结论，像“分式函数的渐近线结论”“零点存在性定理的拓展推论”，常融入数形结合思想，解决零点个数判断、参数范围求解问题。
应用关键在于“精准匹配结论条件”，避免忽略结论成立的前提（如定义域限制、系数范围）；易错点集中在结论混淆（如奇偶性平移结论与周期性结论的区分）、过度依赖结论而忽略逻辑推导。备考需立足基础推导结论，结合典型例题强化“结论+条件+场景”的对应思维，提升解题效率与准确性。
关键能力
条件辨析能力：精准识别结论成立的前提（如定义域、函数类型、系数范围），避免盲目套用；
转化迁移能力：将复杂问题转化为二级结论适配的场景（如双变量问题转化为对称构造模型），实现“问题—结论”的高效衔接；
逻辑验证能力：不依赖结论捷径，保留基础推导逻辑，确保结论应用的严谨性；
数形结合能力：结合函数图像、渐近线、零点分布等结论，可视化分析问题；
分类讨论能力：针对参数范围、结论适用边界，合理分类求解，规避遗漏。​
这些能力需通过“结论推导+例题演练+错题复盘”强化，实现解题效率与准确性的双重提升。
备考策略
溯源推导，筑牢基础：不死记硬背结论，亲手推导核心二级结论（如极值点偏移、周期复合结论），明确成立条件与适用场景；
分类梳理，构建体系：按 “单调性 / 奇偶性 / 零点 / 导数” 分类整理结论，搭配典型例题，形成 “结论 — 条件 — 题型” 对应清单；
靶向刷题，强化应用：聚焦高考高频题型（恒成立、参数范围、零点个数），专项训练 “结论匹配 + 逻辑验证” 能力，避免盲目刷题；
错题复盘，规避陷阱：重点标注 “结论滥用、条件遗漏” 类错题，总结易错点（如定义域限制、参数边界）；
限时训练，提升效率：模拟高考节奏限时解题，平衡 “结论快捷性” 与 “推导严谨性”，优化解题速度。
忽略定义域约束：未先明确函数定义域（如分式分母不为 0、根号下非负），直接套用最值二级结论，导致参数范围偏差；
混淆 “存在性” 与 “恒成立”：误将 “值域包含某区间” 等同于 “最值满足某条件”，忽略参数对最值取值的影响逻辑；
遗漏边界情况：二次函数含参时，未讨论对称轴与定义域的位置关系，直接默认顶点为最值点；
结论条件不符：盲目套用最值相关二级结论（如均值不等式 “一正二定三相等”），忽略等号成立条件或函数单调性前提。
概念理解偏差：未吃透新定义的本质（如对应关系、定义域限制），仅表面套用规则，导致转化失误；​
忽略适用边界：新定义常附带特殊条件（如取值范围、分段逻辑），易遗漏约束导致解题出错；​
类比旧知误导：盲目将常规函数性质（奇偶性、单调性）迁移到新定义中，忽略其独特规则；​
抽象转化困难：无法将新定义语言转化为数学表达式（如方程、不等式），难以建立解题桥梁；​
参数分类不全：含参新定义函数中，未按定义规则分类讨论参数，导致漏解。
奇偶性判断：忽略定义域关于原点对称的前提，或误将的变形推导出错；
单调性应用：未验证 “任意性”，仅由特殊值推导单调性，或忽略单调区间与定义域的从属关系；
周期性推导：混淆周期公式（如周期为），未结合定义域验证周期有效性；
对称性转化：误将对称轴与对称中心结论混用（如对称轴为），或遗漏多对称性叠加的周期推导逻辑。
奇偶性应用：三角函数（如）未化简先判奇偶性，或幂函数忽略定义域对称前提；
单调性应用：二次函数未结合开口方向与对称轴，误判区间单调性；指数函数忽略底数范围对单调性的影响；
周期性应用：三角函数（如）漏记定义域不连续点，或误将最小正周期公式套用（如无周期）；
对称性应用：分式函数、对数函数误用对称中心 / 轴结论，未通过图像或定义验证，导致参数求解错误。
单调性误用：未确认函数单调区间与不等式定义域一致，如用指数函数单调性时忽略底数范围，或二次函数跨对称轴盲目移项；
奇偶性错配：利用奇偶性转化不等式（如）时，未结合单调性判断方向，或忽略定义域对称性；
周期性疏漏：三角函数不等式中，漏记周期对解区间的影响，未补充完整周期内的所有解；
定义域缺失：解对数、分式函数不等式时，仅关注性质应用，忽略真数正、分母不为 0 等前提，导致增根。
赋值无依据：盲目取特殊值（如 ），未结合函数定义域或已知条件，导致推导结论不通用；
漏验普遍性：仅通过单次赋值得出性质（如奇偶性、单调性），未验证 “任意性”，结论存在偶然性；
变形失误：赋值后对等式移项、替换时出错（如误推性质），破坏等价性；
忽略约束：未结合抽象函数隐含条件（如定义域、周期性提示）赋值，导致性质推导与已知矛盾。
函数零点问题的难点与易错点主要集中在以下方面：首先，对零点存在性定理理解不透彻，易忽略函数在区间上连续且端点函数值异号这两个前提条件，误认为函数值同号区间内一定无零点，或有零点则端点函数值一定异号。其次，混淆函数零点与方程根的概念，忽略函数定义域的限制，导致求解范围出错。再者，处理含参零点问题时，方法选择不当，如未能有效分离参数或数形结合不准确。此外，应用二分法时，对精度要求理解有误，或区间选取不合理，导致计算繁琐或结果偏差。需强化概念理解，灵活运用数形结合与分类讨论思想。
一正前提忽略：未验证代数式为正就套用公式，比如含未知数的分式，忽略定义域导致符号错误。
二定条件缺失：未凑出定值就求最值，同零点问题中常需配凑因式使和或积为定值，盲目变形会导致结果失真。
三相等验证遗漏：忽略等号成立条件，同零点下需确认取等时未知数取值在定义域内，否则最值无法取到。
此外，还易混淆 “和定积最大” 与 “积定和最小” 的适用场景，导致逻辑倒置。