2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题04函数与导数(选填题)(培优题型专练)(学生版+解析)

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题型01 抽象函数问题
【例1-1】（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
【例1-2】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1.抽象函数的定义域：
(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由求出．
(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域．
2.对称轴：或者 关于对称；
3.对称中心：或者 关于对称；
4.周期：如果同时关于对称，又关于对称，则的周期.
【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为奇函数C．D．
【变式1-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2025·江西南昌·模拟预测）（多选题）已知定义在上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．可能是单调递减函数
C．为奇函数D．若，则
题型02 分段函数问题
【例2-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
“分段函数，分段解决”遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式.
（1）求函数值：在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可.
（2）求自变量的值：由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解，求参数值（范围）也是如此.
（3）技巧方法:
①图象法或单调性法：直接画出分段函数的图象（单调性），根据图象直接解不等式.
②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集.
③借助单调性和奇偶性求解.
【变式2-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．存在实数a，使得成立B．若为奇函数，则
C．若在上单调递增，则D．若方程有两个不等实根，则
题型03构造函数问题
【例3-1】（2025·四川成都·三模）若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
1.与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
2.添项同构
乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数
加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.
3.常见结构
①；
②；
③
④；
5.常见函数的变形
（1）对于不等式，构造函数
（2）对于不等式，构造函数
（3）对于不等式，构造函数
（4）对于不等式，构造函数
（5）对于不等式，构造函数
（6）对于不等式，构造函数
（7）对于不等式，构造函数
【变式3-1】（25-26高三上·湖北·期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）.
A．B．C．D．
【变式3-3】（2025·四川·模拟预测）若实数，且，则、的关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
题型04 零点问题
【例4-1】（2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
1.零点存在定理：连续函数在满足，则在一定存在零点
2.判断函数零点个数问题一般化为两个函数，判断两个函数的交点个数
3.根据函数零点的存在情况求参数
①若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解
②若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决
【变式4-1】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是
【变式4-2】（2025·江苏常州·模拟预测）已知正实数满足，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型05 不等式恒（能）成立问题
【例5-1】（2025·河南·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
【例5-2】（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ．
1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2.单变量不等式：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），
（2），
（3），
（4），
3.双变量不等式：一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
【变式5-1】（2025·湖南长沙·三模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则 .
【变式5-3】（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为 .
题型06 新定义问题
【例6-1】（2025·山东临沂·模拟预测）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例6-2】（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．B．C．D．
审题，结合题意处理问题.
【变式6-1】（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为 ；当，. .
【变式6-3】（2025·广东肇庆·一模）（多选题）不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A．只有1个不动点
B．若（）没有不动点，则没有零点
C．若（）没有不动点，则方程无实根
D．有3个不动点
1.（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2025·河北保定·三模）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4.（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
5.（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
6.（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ．
7.（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为 .若恰有2个整数解，则实数的取值范围为 .
8.（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 .
9.（2025·山东潍坊·二模）（多选题）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ）
A．曲线上不存在曲率大于的点
B．曲线在点处的曲率最大
C．曲线在点处的曲率为
D．曲线在点与处曲率相等，则
10.（2025·河北·模拟预测）（多选题）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的一个周期为2
C．的图象关于对称D．