2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题03平面向量(选填题)(培优题型专练)(学生版+解析)

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题型01 平面向量基本定理与坐标运算
【例1-1】（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以为基底，
，
又，所以由平面向量基本定理可知，，
则，又，所以．故选：C
【例1-2】（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【详解】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以，所以，
所以
．故答案为：；.
1.共线向量基本定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．
2.平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
3.线段定比分点
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．D
A
C
B
4.三点共线定理(等和线)
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
5.A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得
【变式1-1】（2025·天津河北·二模）如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ．
【答案】 /
【详解】由题设，
又三点共线，则，可得，如下图，延长交于，
由，
若，则，而三点共线，
所以，即，
由，
分别过作，交于，若，则，，
所以，，即，，
综上，，则，为边长为1的正三角形，
所以.故答案为：，
【变式1-2】（2025·吉林松原·模拟预测）在菱形中，分别是边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，得，
在菱形中，，所以，
所以．
故选:D.
【变式1-3】（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（ ）

A．B．2C．D．1
【答案】A
【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，

设，因为三点共线，所以，
等边三角形边长为2，则外接圆半径为，
由，可设，当过点且与圆相切时，取最小值0，
当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值，
此时，，则取最大值，所以，
，
又，则，得，
所以，则的最大值为．故选：A．
题型02 建系求向量最值和取值范围
【例2-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以．又，
所以，解得．因为，所以．
建立如图所示的直角坐标系，
设，
因为，所以，整理得，
即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆．
设，则点在直线上运动，则，
令点到直线的距离为，则，无最大值，故选：B．
【例2-2】（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ．
【答案】 ； .
【详解】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，
故的最大值为；不妨设，满足；
则，，，
设与的夹角为，则，
则，
令，故，
根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，
又当时，，当或时，，故，又，故.
故答案为：；.
平面向量建系解题的核心逻辑是 “先选最优坐标系，再坐标化向量，最后用公式运算”，具体方法如下：
1.看图形特征定建系类型
1）含直角（直角三角形、矩形、正方形）：优先以直角顶点为原点，直角边为x、y轴（最省计算）；
2）对称图形（正六边形、菱形、圆）：以对称中心为原点，对称轴为坐标轴（利用对称性简化坐标）；
3）含特殊角（30°、45°、60°）：以特殊角顶点为原点，一边为x轴（用三角函数快速求坐标）；
4）无明显直角/对称：选线段中点、定比分点或公共顶点为原点，选任意不共线边为坐标轴（尽量减少参数）。
2.按图形性质求点坐标
1）利用边长、角度、对称关系（如中点坐标公式、定比分点公式）计算各顶点坐标，确保坐标无遗漏；
2）特殊图形结论直接用（如正六边形顶点坐标、菱形对角线垂直平分等），节省推导时间。
3.套用公式解决目标问题.
【变式2-1】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为 ．
【答案】/0.8
【详解】
因为，，设，
则，
设，因为，
所以，即点在直线上运动，
设，点在直线上，所以，等号成立当且仅当重合.
故答案为：.
【变式2-2】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 .
【答案】2
【详解】

如图，设，则为等边三角形，，
且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为，
故短半轴长为，故椭圆方程为，
设，故
，
故的最大值为2，,故答案为：2.
【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）（多选题）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】ABC
【详解】
如图示，建立平面直角坐标系.设，可得：.
由可得：，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为，结合选项可知，A，B，C中的数值符合，
故选：ABC
题型03奔驰定理与三角形四心
【例3-1】（25-26高三上·黑龙江·期中）（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则向量在向量方向上的投影向量为
B．两个非零向量，若，则与共线且反向
C．若，则向量与的夹角为钝角
D．若为的外心，，则为的垂心
【答案】ABD
【详解】对于A：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，A正确；
对于B：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，B正确；
对于C：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，C错误；
对于D：因为为的外心，，
则，
所以，
所以，同理可得，故为的垂心，D正确.故选：ABD
【例3-2】（2025·广东江门·模拟预测）已知点分别是的外心，重心，，则的值为 .
【答案】/
【详解】设的中点为，连接，，
由于为的重心，则一定在线段上，且，
所以，
由于为的外心，过点作，垂足为，则为中点，
则，同理可得，
则.故答案为：.
奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.
奔驰定理与三角形四心
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则.
【变式3-1】（2025·湖南长沙·一模）（多选题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（ ）
A．若，则M在内部
B．若，则M为的重心
C．若，则的面积是面积的
D．若，M为外接圆圆心，则
【答案】ABD
【详解】
对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知，
当时，M在内部，故A 正确；
对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，
故B正确；
对于选项C，已知，
则
这说明M在线段BC上，且，那么，
因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比，即的面积是面积的故C错误；
对于选项D₁ M为外心，
故
，
所以，所以，故D正确.故选：ABD.
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）（多选题）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【答案】AD
【详解】对于A，由奔驰定理可得，，
因为不共线，所以，故A正确；
对于B，若是的重心，则，因为，
消去，可得，即三点共线，与题意不符，故B错误；
对于C，当为的外心时，，所以，
故由A项结论，，
即，故C错误；
对于D，当为的内心时，，
因，（为内切圆半径，分别为角的对边），
则，所以，即，故D正确．故选：AD
【变式3-3】（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ．
【答案】 3 或
【详解】如图1，设中点为，，垂足为，则，.
根据重心的性质可知，所以有，
整理可得，所以，，；
由已知在中，，，且，根据正弦定理可得，
.又，所以有或.
当时，，则.
且由余弦定理可知，，
代入可得，，
整理可得，解得（舍去），所以.
如图1，，，，.
建立直角坐标系，则，，，.
不妨设，则，.
因为，所以，，即有，
解得，所以.又，，，
所以.所以，，所以，.
又由欧拉定理可知，，所以，；
当时，，则.且由余弦定理可知，
，代入可得，，
整理可得，解得（舍去），所以.
如图1，，，，.
建立直角坐标系，则，，，.
不妨设，则，.
因为，所以，，
即有，解得，所以.
又，，，所以.所以，，
所以，.又由欧拉定理可知，，
所以，.故答案为：3；或.
题型04 平面向量新定义
【例4-1】（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若，则，
则或.
当时，未必成立；
当时，.
故“”是“”的必要不充分条件.故选：B
【例4-2】（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意设，
则，，，，
则.故选：C．
新定义问题需要认真审题，再结合已有的知识经验进行处理，具有一定的综合性.
【变式4-1】（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则
【答案】
【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为
根据乘法原理和加法原理可得：，
因①
②
由，故；
当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为
根据乘法原理和加法原理可得：，
因①
②
由，故.
综上，，故.故答案为： .
【变式4-2】（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径.
因为，所以为圆的直径.
设，.
由.
因为为直径，所以，
则.
令，即，且，
当直线与圆相切时，取得最值.
根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或，
所以，则的取值范围是.故答案为：.
【变式4-3】（2025·四川成都·三模）（多选题）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（ ）
A．若，，，则，，线性相关
B．若，，，则，，线性无关
C．若，，线性无关，则，，线性相关
D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关
【答案】AB
【详解】若，，，
根据题意，设，即，
所以，解得，取，所以，A正确；
若，，，根据题意，设，
即，
所以，解得，所以，，线性无关，B正确；
假设，，线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，
因为，，线性无关，则，得，与假设矛盾，C错误；
对于非零向量，，，若存在实数，使得，
即，所以，
但不能确定，，是否线性相关，D错误.故选：AB
1.（2025·湖北·模拟预测）已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，，则，
，两点在以为圆心，为半径的圆上，
设，由可取，
，
，
则当时，取得最小值，.故选：C.
2.（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】，
又因为，所以，
设，则，
所以，解得，故选：B.
3.（2025·广东江门·模拟预测）已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（ ）
A．向正北方向B．向正南方向
C．向西北方向D．向东南方向
【答案】A
【详解】建立平面直角坐标系：
则，得，
则向量表示位移：向正北方向．故选：A
4.（2025·浙江金华·一模）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】令，如下图示，即为线段的长度，
由对任意，的最小值为，即，而，
显然时，线段最短，此时，
所以，又，故或.故选：C
5.（25-26高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（ ）
①的最大值为
②在方向上的投影向量为
③
④若函数，则函数的最小值为
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【详解】易知正八边形的每条边所对的圆心角都是，所以，
以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：

设，在中，由余弦定理，,
可得，
且
.
对于①，取的中点为，则,且；
则；
由正八边形的对称性可知当点与点或点重合时，取得最大值，
不妨取，则，则,
所以，
因此，即①正确；
对于②，易知，
所以在方向上的投影向量为，因此②错误；
对于③，易知，
而，因此，即③错误；
对于④，易知
由可得：
，
由二次函数性质可知当时，取得最小值，
所以函数的最小值为，因此④错误.
因此只有①正确.故选：B
6.（2025·上海奉贤·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设，
向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆，
，向量满足，
表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆的一个焦点，
因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离，
则.故答案为：16．
7.（2025·浙江丽水·一模）已知平面向量满足，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】根据向量模长的三角不等式，有，
又因为，由三角不等式：，
则，得：
故答案为：
8.（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为，所以为等边三角形，
设AB的中点为D，连接OD，则，
所以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，则方程为，
所以，
因为，所以，所以的最小值为.
故答案为：
9.（2025·内蒙古赤峰·一模）（多选题）已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（ ）
A．B．
C．D．，，可作为一个三角形的三边长
【答案】BCD
【详解】由题意可知为的重心，

∵分别为中点，则，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确；
∵，∴，即，
∴可作为三角形三边，D选项正确.故选：BCD.
10.（2025·陕西西安·模拟预测）（多选题）已知向量，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得B．任意正数a，b，与不共线
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【详解】对于：由题意得，若，则，解得，因为，，
所以无解，故不存在，使得，所以选项错误；
对于：由选项可知，不存在，使得，所以选项正确；
对于：若，则，解得，，
所以，因为，，
根据基本不等式得：=2，
当且仅当=1时等号成立，所以；所以选项正确；
对于：，若，则，
即，化简得：，
因为，，所以，即，且，
所以，令，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以选项错误.故选：.