2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题05函数与方程、函数模型的应用(易错专练)(学生版+解析)

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易错点1 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而出错
易错典题
【例1】（2026广东广雅中学月考)已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表
以下说法中错误的是（ ）
A．B．当时，
C．函数有且仅有一个零点D．函数可能无零点
【答案】D
【解析】对于A，因为函数是上的增函数，所以，A正确；
对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，B正确；
对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点（易错点），C正确；
在某区间内单调的函数最多一个零点
对于D，因为函数的图象连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点（易错点），D错误.
利用零点存在性定理判定零点的存在性
【错因分析】本题易忽略函数的单调性而认为C错误.
知识混淆：把零点存在定理与零点唯一性定理混用，误将 “存在” 当作 “只有一个”.
概念模糊：忽略函数必须连续这一前提，只看端点函数值异号就判定有零点.
望文生义：误以为定理可逆，由函数有零点，直接推出端点函数值一定异号.
避错攻略
【方法总结】牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能反推端点异号；
【知识链接】
1.函数的零点
(1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
(3)零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.
[微提醒] (1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内.
(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示.
2.二分法
对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
举一反三
【变式1-1】（24-25高三上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可得，则，
所以，显然为连续函数，
又，所以，，，
，，
根据零点存在性定理可知的第三个零点.
故选：A
【变式1-2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为函数在区间上的图象是连续不断的，
当，不能推出函数在区间上没有零点，故充分性不满足；
当函数在区间上没有零点时，可以推出，故必要性满足；
所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.
故选：B
【变式1-3】（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对任意的，，故函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾，
由于函数有且只有一个零点，则该零点必为，即，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为，
因为方程无解，故，即实数的取值范围是.
故选：A.
易错点2 二次函数零点分布问题考虑不全
易错典题
【例2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，（易错点）
此处易犯的错误是：所列式子不全面
解得，
因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【错因分析】本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.
知识混淆:将零点存在定理直接套用于二次函数，漏判开口、判别式、对称轴等条件.
概念模糊:只关注端点函数值符号，忽略判别式、对称轴、区间范围对零点的限制.
望文生义:看到 “有零点” 只想到有解，不区分在指定区间内还是全体实数上有零点.
避错攻略
【方法总结】研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－eq \f(b,2a)与区间端点的位置关系．
【知识链接】1．概念
二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数y=ax2+bx+c零点)的分布问题．
2．一元二次方程根(二次函数零点)的0分布
方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围.
3.一元二次方程根（二次函数零点）的k分布
4.一元二次方程根（二次函数零点）在区间的分布
举一反三
【变式2-1】（23-24高三上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，
根据已知结合二次函数性质，作图

则有，
解得.
故选：C.
【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【解析】因为是函数的零点，
所以，即，则或，
解得或，
当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为；
当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为；
又，综上可得的最小值为，此时，.
故选：B
【变式2-3】（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数且满足．
(1)求的值；
(2)已知函数有两个不同的正数零点．
（i）求的取值范围；
（ii）若，求的值：
【分析】（1）根据函数满足得二次函数对称轴，求出，再根据求出；
（2）将化为，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围；根据即可求出的值.
【解析】（1）函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为，
又函数满足，则，解得，
又，所以，.
（2）由（1）知，
所以.
（i）因为函数有两个不同的正数零点，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（ii）因为，
所以，又，所以.
易错点3 画函数图象时不准确而出错
易错典题
【例3】（多选题）(2026·河北衡水中学月考)已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．的取值范围是B．
C．的最小值是D．越大，的值越大
【答案】BCD
【解析】画出的图象，如下图所示:
对于A,由图可知(易错点) ,则A错误.
当x0）
得出的结论
大致图象（a