2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题02数列求和与综合应用6大解答题型(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题02数列求和与综合应用6大解答题型(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了例1-1，例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，例2-1，例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
目录
第一部分 题型解码 微观解剖，精细教学
典例剖析 方法提炼 变式训练
题型01 裂项相消求和
题型02 错位相减求和
题型03 分组、并项求和（不含奇偶项）
题型04 含绝对值求和
题型05 关于奇偶项求和
题型06 数列与不等式（含数学归纳法）
第二部分 强化实训 整合应用，模拟实战

题型01 裂项相消求和
【例1-1】（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【例1-2】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)求；
(3)证明：.
【变式1-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，，记的零点为.
(1)求；
(2)求数列中的最小项；
(3)证明：.
【变式1-2】（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式1-3】（2025·浙江宁波·一模）记为正项数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：.
题型02 错位相减求和
【例2-1】（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【例2-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
一、错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
【变式2-1】（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：.
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式.
【变式2-2】（2025·云南·模拟预测）在等比数列中，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式2-3】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知数列的前项和为，且，各项均为正数的递增数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)记数列的前项和为，求.
题型03 分组、并项求和
【例3-1】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.
(1)证明：是等差数列，是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【例3-2】（2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
一、分组求和的常见类型
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【变式3-1】（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．
(1)证明：数列与均为等比数列；
(2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如)
【变式3-2】（2025·广东江门·模拟预测）在数列中，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若等比数列满足.
（i）求的值；
（ii）记数列的前项和为.若，求的值.
【变式3-3】（2025·四川绵阳·一模）已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.
(1)求常数的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型04 含绝对值求和
【例4-1】（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【例4-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若．
(1)求证：是等差数列；
(2)求的前项和的最小值；
(3)求的前项和．
数列绝对值求和
【变式4-1】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
【变式4-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
题型05 关于奇偶项求和
【例5-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
【例5-2】（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式5-1】（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【变式5-3】（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
题型06 数列与不等式
【例6-1】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
【例6-2】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
【变式6-1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围．
【变式6-2】（2025·河南·一模）数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值
【变式6-3】（2025·广西来宾·模拟预测）已知数列的首项，且满足，数列前n项和为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求证：；
(3)若，求满足条件的最大整数n.
1．（2025·陕西商洛·一模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．
2．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列.
(1)求等比数列的公比；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
4．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，．
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
6．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，证明：；
(3)设，且数列的前项和为，证明：．