2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题04导数及其对函数性质研究的基本应用(培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题04导数及其对函数性质研究的基本应用(培优讲义)(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了切线问题，单调性问题，极值与最值问题，零点问题，恒成立与能成立问题，不等式证明问题等内容，欢迎下载使用。

◇方法技巧 01 导数中的常用方法
一、切线问题
核心原理：函数在点处的切线斜率，切线方程为。
已知切点求切线
直接求导代入切点横坐标得斜率，再用点斜式写方程。
易错点：验证切点是否在函数图像上。
未知切点求切线（过点作切线）
设切点为，写出切线方程，代入 P 点坐标，解方程求。
技巧：切线可能有 0 条、1 条或多条，需根据方程解的个数判断。
公切线问题
分别设两函数切点，写出各自切线方程，令斜率相等、截距相等，联立方程组求解。
二、单调性问题
核心原理：在区间上单调递增；在区间上单调递减。
判断单调区间
步骤：求定义域→求导→解不等式和→结合定义域得单调区间。
技巧：含分式、根式时，优先分析分子符号（分母恒正 / 恒负时）。
已知单调性求参数范围
转化：单调递增 ⇒在区间上恒成立（等号仅在有限个点成立）；单调递减同理。
技巧：分离参数法优先，避免分类讨论的繁琐；无法分离时，分类讨论导函数的最值。
三、极值与最值问题
1. 极值问题
核心原理：极值点是的变号零点（导数值左正右负为极大值点，左负右正为极小值点）。
步骤：求导→找的根→判断根两侧导函数符号→确定极值。
易错点：不能直接推出是极值点，必须验证符号变化。
2. 最值问题
核心：闭区间上的连续函数，最值必在端点或极值点处取得。
步骤：求区间内的极值点→计算极值点和区间端点的函数值→比较大小得最值。
技巧：开区间最值需结合单调性和极限分析；恒成立问题常转化为最值问题。
四、零点问题
核心原理：零点存在定理（在连续，⇒区间内至少一个零点）。
判断零点个数
步骤：求定义域→分析单调性→求极值 / 最值→结合极值正负和端点趋势判断。
技巧：单峰 / 单谷函数，极值符号决定零点个数；多极值函数需分段讨论。
已知零点个数求参数范围
转化：将参数分离，构造函数，转化为与图像的交点个数问题。
关键：准确画出的单调性和极值图像。
五、恒成立与能成立问题
核心：转化为函数最值，区分量词逻辑（∀ 任意、∃ 存在）。
根据任意，存在问题，求解函数的最值即可
恒成立问题： = 1 \* GB3 ①，即求； = 2 \* GB3 ②即求.
能成立问题： = 1 \* GB3 ①，即求； = 2 \* GB3 ②即求.
技巧：双变量问题先分别求两个函数的最值，再根据量词关系建立不等式。
六、不等式证明问题
核心方法：构造函数法，将不等式转化为函数最值的正负判断。
单变量不等式证明
步骤：移项构造函数→求导分析单调性→求的最值→证明或。
技巧：
不等式变形：拆分、放缩、换元，简化构造的函数。
多次求导：当符号不明确时，求二阶导分析的单调性。
◇题型 01 函数在点和过点的切线问题
典｜例｜精｜析
典例1．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为为奇函数，当时，，
当时，可得，
则，可得，，
所以曲线在处的切线方程是，即.
故选：D.
典例2．若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．0B．1
C．D．
【答案】B
【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出．
【详解】曲线方程求导得，
直线与曲线相切，设切点为，则，解得，
代入曲线方程得，故切点坐标为，
切点同时位于直线上，
，解得．
故选：B．
典例3．过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.
【详解】设过点的曲线的切线为：，
有,
解得或,
代入可得或.
故选：
典例4．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围.
【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，而当时，恒有，
又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ）
A．B．
C．1D．2
【答案】D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.
【详解】设切点为
因为切线，
所以，
解得（舍去）
代入曲线得，
所以切点为
代入切线方程可得，解得.
故选：D.
变式2．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积.
【详解】求导得：，则，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，
则与轴相交于点，与轴相交于点，
所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
故选：C.
变式3．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果.
【详解】由得，
设过点的直线与曲线切于点，
则切线斜率为，
所以切线方程为
因为切线过点，
所以，整理得，
因为过点的切线有两条，
所以方程有两不同实根，
因此，解得或，
即实数a的取值范围是.
故选：B
◇题型 02 公切线和距离最值
典｜例｜精｜析
典例1．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．1B．2
C．D．
【答案】B
【分析】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与.
【详解】设直线与曲线的切点为，
由，得，即.
切线方程为，代入、，得.
因该切线为，故，解得.
设直线与曲线的切点为，
由，得，即.
切线方程为，化简得.
因该切线为，故，解得.
故选：B
典例2．已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值.
【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，所以有解，消去后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为．
故选：B．
典例3．已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6
C．D．9
【答案】B
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线在点处的切线与直线平行，
由，得，则或，
则动点到直线的距离的最小值为.
所以点到直线的距离的最小值为，
故选：B.
变｜式｜巩｜固
变式1．若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．
C．1D．e
【答案】B
【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出.
再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出.
解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到.
【详解】解法一：令，，则，
设直线与的切点为，
则切线方程为，即，
又因为，所以，解得，，所以切线方程为，
令，则，
设直线与的切点为，所以①，
又因为切点在直线上，所以，即②，
由①和②可得，所以，解得．
解法二：设切点分别为，，
．∴，．
同理．∴，∴，∴．
故选：B．
变式2．已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围.
【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，
而，依题意，，则，因，则，
消去得，令函数，
由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点，
，当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，，
而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，，
则当且仅当，即时，函数有两个不同零点，
所以的取值范围是.
故选：C
变式3．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案.
【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）．
因为，所以曲线在点处的切线与直线平行．
因为点到直线的距离为，所以所求最小值为．
故选：C.
◇题型 03 已知函数的单调性求参
典｜例｜精｜析
典例1．设函数在区间上单调递减，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．3
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上是减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因为时，，所以，
所以的最大值是.
故选：A.
典例2．已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质，求得函数在上不单调时，求得的取值范围，再由导数求得函数在上不单调时，求得的取值范围，进而得到答案.
【详解】由函数的对称轴为，
若在上不单调，则满足，解得；
又由函数，可得，
若在上不单调，则满足，解得，
所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或，
可得，所以实数的取值范围为.
故选：D.
典例3．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，，变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
变｜式｜巩｜固
变式1．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．
【分析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
变式2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
则，
所以在上递增，又，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
变式2．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解.
【详解】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
变式3．已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0B．1
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
导函数为，
因为函数在单调递增，
所以在恒成立，
所以，即，
故，
令，则，
令，则，
令，则，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以的最小值为.
故选：B.
变式4．若对于，且，都有，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等关系进行变形，两个变量分别移到不等式的两侧，从而构建新函数，将问题转化为新函数的单调性问题.
【详解】∵，∴
∴等价于，则
令，则,又,
∴在上为增函数，
由在恒成立,得
故选:C
【点睛】利用导数求参数问题，可构造函数，根据不等关系进行合理变形，两个变量分别移到不等式的两侧，从而易构建新函数，问题转化为新函数的单调性问题.
◇题型 04 分类讨论函数的单调性
典｜例｜精｜析
典例1．已知函数
(1)当时，求函数的最值;
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)最小值为，无最大值
(2)答案见解析
【分析】（1）代入，求导分析单调性后求出最值.
（2）求导后对进行分类讨论，进而求出函数f（x）的单调性.
【详解】（1）由题可知，函数定义域为，
当时，，
，令，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以函数的最小值为，无最大值．
（2）．
当时，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，，
令，得或，令，得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增；
当时，，
令，得或，令，得，
函数在和上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增．
典例2．已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程；
（2）分，，，四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性.
【详解】（1），，
，，
切线方程为，即.
（2），.
①当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增.
②当时，
当时，，，
当时，，，时等号成立，
所以在上单调递增.
③当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增.
④当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，在上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减；
④当时，在上单调递增，在上单调递减.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可；
（2）求导得，分和求解即可.
【详解】（1）当时，，．
，．
曲线在点处的切线方程为．
（2）．
当时，，是增函数．
当时，令，解得．
当时，；当，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
变式2．已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的增区间和减区间.
【详解】（1）当时，，则，所以，，，
所以，在点处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
.
①当时，由，可得，由，可得，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，由，可得，.
（i）当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增；
（ii）当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
（iii）当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
变式3．设函数，其中为常数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）先求出，得出切点坐标，再求出，得到切线的斜率，从而得到切线方程.
（2）先求出，对二次式的开口方向，判别式进行分类讨论即可.
【详解】（1）当时，，，则切点为.
，则
所以，曲线在点处的切线方程为.
（2）
①当，若，即时，恒成立.
在上为减函数；
若，即时，令得两根
则，
所以，上，，为减函数；上，，为增函数；
上，，为减函数；
②当，，在上为增函数；
③当时，，均小于0，在上，，
则在上为增函数，
综上所述，当时，在上为增函数；
当时，在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，在上为减函数.
◇题型 05 构造函数单调性判断大小
典｜例｜精｜析
典例1．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数，则，
令，解得，由知.
在上单调递增，所以，即，
又因为，所以.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
典例2．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：，，，
①，
令
则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
②，
令
则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以
故
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先构造函数，再根据函数的导函数得出函数单调性即可判断大小.
【详解】设，
所以单调递增；单调递减；
所以.
故选：A.
变式2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
变式3．设，，．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0