2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题1.1基本不等式及其应用(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题1.1基本不等式及其应用(培优热点专练)(学生版+解析)，共12页。

近三年：基本不等式是高中数学的核心内容之一，难度中等偏上，侧重考查不等式的理解与应用能力。主要考查利用基本不等式求最值（如和的最小值、积的最大值）、证明不等式、解决实际应用问题（如面积、体积、费用等优化问题）。常与函数、方程、解析几何等知识结合，体现综合性．
预测2026年：预计2026年高考仍将重视基本不等式的应用，尤其是与其他知识（如函数、数列、解析几何）的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模，突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式成立条件的理解，训练其灵活配凑、变形能力，注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合，提升解决综合性问题的能力。
题型01 公式的理解
1（25-26高三上·上海·期中）已知实数a、b，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A．a+1a≥2B．a2+2+1a2+2≥2
C．a+b2≤abD．a2+b2≥2ab
【答案】D
【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D.
【详解】对于A，取a=−1，则a+1a=−21，因此等号不能取到，B错误；
对于C，取a=2,b=4，则a+b2=3>22=ab，C错误；
对于D，a2+b2−2ab=(a−b)2≥0，则a2+b2≥2ab，D正确.
故选：D
2（多选）（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（ ）
A．x2+1≥2xB．x+y≥2xy
C．x2+4x2+2≥2D．若x>y>0，则x+1x−y+1y≥4
【答案】ACD
【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD.
【详解】对于A，x2+1−2x=x−12≥0，所以x2+1≥2x，故A正确；
对于B，当x0时，x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1时取等号；当x0且x+y=1，
所以xy≤x+y22=14，所以1xy≥4，
当且仅当x=y=12时，等号成立，
所以1x+1y+1xy=x+yxy+1xy=1xy+1xy=2xy≥8，
故选：B
题型04 配凑型
1（25-26高三上·浙江宁波·期中）若m,n均为大于1的实数，且mn=3+m+n，则m+2n的最小值为（ ）
A．6B．9C．3+22D．3+42
【答案】D
【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意可知：m−1n−1=4，
则m+2n=m−1+2n−1+3≥2m−1⋅2n−1+3=42+3，
当且仅当m−1=2n−1，即n=1+2,m=22+1时取得等号.
故选：D
2（25-26高三上·四川广安·月考）若x>2，y>−2，x+2y=0，则1x−2+12y+4的最小值为（ ）
A．2B．3C．3+1D．3−1
【答案】A
【分析】由题意得x−2+2y+4=2，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意有：x−2>0,2y+4>0，
又x+2y=0，所以x−2+2y+4=x+2y+2=2，
所以1x−2+12y+4=1x−2+12y+4×x−2+2y+42=122+2y+4x−2+x−22y+4 ≥122+22y+4x−2×x−22y+4=2，
当且仅当2y+4x−2=x−22y+4x−2+2y+4=2，即x=3y=−32时，等号成立，
所以1x−2+12y+4的最小值为2.
故选：A.
3（25-26高二上·云南·月考）若x>y>0, 2x−y=4，则2−yx+1x−y的最小值为（ ）
A．9B．94C．2D．169
【答案】B
【分析】由已知可得y=2x−4，20，所以x>2x−4>0，所以20,2x+3y+6xy=54，则2x+3y的最小值是（ ）
A．1B．5C．52D．54
【答案】A
【分析】由基本不等式得6xy=2x⋅3y≤2x+3y22，结合条件求解.
【详解】由x,y>0，2x+3y+6xy=54，得6xy=54−2x+3y，
又6xy=2x⋅3y≤2x+3y22，即54−2x+3y≤2x+3y24，
令t=2x+3y>0，上式为t2+4t−5≥0，解得t≥1或t≤−5（舍去），
∴t≥1，即2x+3y≥1，当且仅当2x=3y时，等号成立，
所以2x+3y得最小值为1.
故选：A.
3（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知x,y∈R，且x2+y2+x+y=4，则x+y的最小值与最大值之和为（ ）
A．−5B．−4C．−3D．−2
【答案】D
【分析】应用基本不等式得x+y2+2x+y−8≤0求x+y的范围，注意端点值的取值条件，即可得.
【详解】由x2+y2≥x+y22，有x+y22+x+y≤4，有x+y2+2x+y−8≤0，得−4≤x+y≤2，
当x=y=1时，x+y=2，
当x=y=−2时，x+y=−4，
所以x+y的最小值为−4，最大值为2，
所以x+y的最小值与最大值之和为−4+2=−2.
故选：D
题型06 常数代换型
1（2025·浙江台州·一模）已知a,b∈−1,+∞，且a+1b+1=2，则b+9a+2的最小值为（ ）
A．2B．94C．52D．3
【答案】D
【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解.
【详解】由题可知，a+2+1b+1=4，又因为a+2>0,b+1>0,
则b+1+9a+2=14(a+2+1b+1)(b+1+9a+2)
=14[(a+2)(b+1)+9(a+2)(b+1)+10]≥14(6+10)=4,
当且仅当(a+2)(b+1)=3时，即当a=1,b=0时，等号成立.
因此b+1+9a+2的最小值为4，
故b+9a+2的最小值为3.
故选：D.
2（25-26高三上·湖北黄石·期中）已知实数a，b满足a>0，b>1，且a+b=5，则4a+1b−1的最小值为（ ）
A．32B．94C．52D．9
【答案】B
【分析】变形有a+b−1=4，再利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】因为a>0,b>1，且a+b=5，则a+b−1=4，b−1>0，
则4a+1b−1=4a+1b−1[a+(b−1)]×14=145+4(b−1)a+ab−1≥145+24(b−1)a⋅ab−1=94，
当且仅当4(b−1)a=ab−1，且a+b=5时，即a=83,b=73时取等号，
故选：B．
3（24-25高三上·山西·月考）已知正实数x，y满足x+2y=3，则x2+3yxy的最小值为（ ）
A．22+1B．4C．42+1D．6
【答案】A
【分析】由条件可得x2+3yxy=xy+2yx+1，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】由题意知x2+3yxy=x2+x+2yyxy=x2+xy+2y2xy=xy+2yx+1≥22+1，
当且仅当x+2y=3，且xy= 2yx，即x=322+2，y=32+2时等号成立，
即x2+3yxy的最小值为22+1.
故选:A.
题型07 消元型
1（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知实数x,y满足xy−2x−y=0，则x−12+y−22的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．92
【答案】C
【分析】根据已知等式可得y=2xx−1=2+2x−1，从而可结合基本不等式求解x−12+y−22的最小值.
【详解】因为xy−2x−y=0，当x=1时，等式不成立，
所以y=2xx−1=2x−1+2x−1=2+2x−1，
则x−12+y−22=x−12+2x−12≥2x−12⋅2x−12=4，
当且仅当x−12=2x−12，即x=2+1或x=−2+1时，等号成立，
所以x−12+y−22的最小值为4.
故选：C.
2（25-26高三上·湖北武汉·期中）已知实数x,y满足x2+2xy=1，则x2+4y2的最小值为（ ）
A．1B．22−1C．22−2D．23−1
【答案】C
【分析】由已知得y=1−x22x，然后对目标式变形为x2+4y2=2x2+1x2−2，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为x2+2xy=1，显然x≠0，所以y=1−x22x，
则x2+4y2=x2+41−x22x2=2x2+1x2−2≥22x2×1x2−2=22−2，
当且仅当2x2=1x2，即x2=22时，等号成立，即x2+4y2的最小值为22−2.
故选：C
3（25-26高三上·重庆·期中）若正数x、y满足xy−x−3y=1，则x+4y的最小值为（ ）
A．152B．8
C．172D．15
【答案】D
【分析】由已知等式得出y=x+1x−3，求得x>3，化简得出x+4y=x−3+16x−3+7，结合基本不等式可求得其最小值.
【详解】由xy−x−3y=1可得yx−3=x+1，
因为x>0，y>0，由yx−3=x+1可得x−3>0，故x>3，且y=x+1x−3，
故x+4y=x+4x+1x−3=x+4x−3+16x−3=x+16x−3+4=x−3+16x−3+7
≥2x−3⋅16x−3+7=8+7=15.
当且仅当x−3=16x−3x>3时，即当x=7y=2时，等号成立，
故x+4y的最小值为15.
故选：D.
题型08 “1”代换综合型
1（25-26高三上·重庆·期中）已知a,b>0，且ab=a+b，则a+4b的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】应用基本不等式中“1”的妙用，求a+4b的最小值即可．
【详解】已知a,b>0，且ab=a+b，则1a+1b=1，
所以a+4b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba+ab≥5+24ba⋅ab=9，
当且仅当a=2b，即a=3,b=32时等号成立，
故a+4b的最小值为9．
故选：C．
2（25-26高三上·重庆南岸·期中）若10，且m2−n+n=0，则m+2n的最小值为（ ）
A．2B．12C．9D．4
【答案】C
【分析】先变形得到2n+1m=1，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可.
【详解】由m2−n+n=0，可得2m+n=mn，所以2n+1m=1，
所以m+2n=m+2n2n+1m=2mn+4+1+2nm≥5+22mn·2nm=9，
当且仅当m=n=3时等号成立，故m+2n的最小值为9.
故选：C.
题型09 二次函数ax2+bx+cdx2+ex+f型
1（25-26高三上·广东珠海·月考）函数fx=x2−3xx+1x>−1的最小值是（ ）
A．-3B．-1C．0D．4
【答案】B
【分析】由fx=x+1+4x+1−5，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为x>−1，
所以x+1>0，则：
fx=x2−3xx+1=x+12−5x+1+4x+1=x+1+4x+1−5≥24−5=−1，
当且仅当x=1时，取等号，
所以fx的最小值为−1，
故选：B
2 （25-26高三上·福建厦门·期中）已知x>−1，则y=x2+5x+8x+1的最小值为（ ）
A．4B．7C．11D．24
【答案】B
【分析】对所求的式子进行适当的变形再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为x>−1，所以x+1>0，y=x2+5x+8x+1=x+1x+4+4x+1=x+4+4x+1=x+1+4x+1+3≥2x+1⋅4x+1+3=7，
当且仅当x+1=4x+1，即x=1时等号成立，所以y的最小值为7.
故选：B
3（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知x>1，则f(x)=x2−x+4x−1的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】将函数配凑整理为fx=x−1+4x−1+1，利用基本不等式可求得结果.
【详解】fx=x2−x+4x−1=x−12+x−1+4x−1=x−1+4x−1+1，
∵x>1，∴x−1>0，
∴fx=x−1+4x−1+1≥2x−1⋅4x−1+1=5，当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，
所以fx的最小值为5.
故选：B.
题型10 换元型
1（25-26高三上·河南·月考）已知x>0>y，且x−3y=1x−3y+4，则x−3y的最小值为（ ）
A．25−2B．25−1C．1+25D．2+25
【答案】D
【分析】设x−3y=t，则得1x−3y=t−4且t>0，由t(t−4)=(x−3y)(1x−3y)=10−3xy−3yx，利用基本不等式推得t2−4t−16≥0，解不等式即得.
【详解】因x>0>y，设x−3y=t，则t>0，由x−3y=1x−3y+4可得1x−3y=t−4，
则有t(t−4)=(x−3y)(1x−3y)=10−3xy−3yx=10+(−3xy)+(−3yx)≥10+29=16，
当且仅当−3xy=−3yx，即x=−y=5+12时，等号成立，
即得t2−4t−16≥0，解得t≥25+2，即x−3y的最小值为25+2.
故选：D.
2（24-25高二下·山东济宁·月考）已知x>0,y>0，且x2y+2xy2+2xy≤x+2y，则2x+1y的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据题意，化简得到x+2y+2≤2x+1y，利用基本不等式，求得x+2y⋅(2x+1y)≥8，得到x+2y≥82x+1y，得到2x+1y≥(2x+y)+2≥82x+1y+2，令t=2x+1y，得到t≥8t+2，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由x2y+2xy2+2xy≤x+2y，可得xy(x+2y)+2xy≤x+2y，
因为x>0,y>0，两边同除xy，可得x+2y+2≤x+2yxy，即x+2y+2≤2x+1y，
又因为x>0,y>0，可得x+2y>0，所以2x+1y>0，
则x+2y⋅(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+24yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xy时，即x=2y时，等号成立，所以x+2y≥82x+1y，
所以2x+1y≥(2x+y)+2≥82x+1y+2，
令t=2x+1y，其中t>0，则t≥8t+2，即t2−2t−8≥0，解得t≥4或t≤−2（舍去），
所以2x+1y≥4，即2x+1y的最小值为4，此时x=1,y=12，.
故选：A.
3（多选）（25-26高三上·重庆渝中·月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数y=x+4x的最小值为2
B．函数y=1cs2x+4sin2x的最小值为9
C．函数y=x2+8x2+9的最大值为229
D．若x>0，y>0，且x+y=4+1x+1y，则xy的取值范围为(1,3+22]
【答案】BCD
【分析】A.举反例说明该选项错误；
B.利用基本不等式得到函数y=1cs2x+4sin2x的最小值为9，所以该选项正确；
C.利用换元法、函数的单调性和基本不等式得到函数y=x2+8x2+9的最大值为229.所以该选项正确;
D．主要利用基本不等式求出xy的取值范围为(1,3+22].所以该选项正确.
【详解】解：A. 当x0,∴1−1xy>0,∴xy>1.
因为x+y≥2xy,（当且仅当x=y时等号成立），所以(x+y)(1−1xy)≥2xy(1−1xy),∴4≥2xy(1−1xy)，所以xy−2xy−1≤0.∴1−2≤xy≤1+2，所以1b5，
且a=s+t6b=−s+5t6,st=1，同时t>s5，
所以12a2+8ab−b2=s+t23+2s+t5t−s9−5t−s236
=3s2+66st+27t236=3s2+27t2+6636≥281+6636=73.
当且仅当s=3,t=33时等号成立，此时a=239,b=39.
故选：A
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数a，b，c满足2a+b+3c=8，则a+b+2cb+c+1a+c的最小值为（ ）
A．22B．3+224C．32−1D．5+224
【答案】D
【分析】设令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，变形得到a+b+2cb+c+1a+c=4n+1m+12，由基本不等式“1”的代换求出4n+1m的最小值，从而得到答案.
【详解】正数a，b，c满足2a+b+3c=8，故2a+c+b+c=8，
令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，
a+b+2cb+c+1a+c=a+c+b+cb+c+1a+c=a+cb+c+1a+c+1=mn+1m+1
=8−n2n+1m+1=4n+1m+12，
4n+1m=184n+1m2m+n=188mn+4+2+nm≥186+28mn⋅nm=3+224，
当且仅当8mn=nm，即m=42−4，n=16−82时，等号成立，
故a+b+2cb+c+1a+c=4n+1m+12≥3+224+12=5+224.
故选：D
题型12 齐次化构造型
1（25-26高三上·天津·期中）已知x>0，y>0，且1x+1y=1，则9x1−x+4y1−y的最大值为（ ）
A．−25B．−18C．−12D．−9
【答案】A
【分析】由已知条件将所求式子变为9x1−x+4y1−y=91x−1+41y−1=−9y−4x，利用“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】因为x,y>0，且1x+1y=1，
所以9x1−x+4y1−y=91x−1+41y−1=−9y−4x
=−4x+9y1x+1y=−13−9yx+4xy≤−13−29yx⋅4xy=−25，
当且仅当9yx=4xy，即x=52,y=53时，等号成立，
所以9x1−x+4y1−y的最大值为−25.
故选：A.
2（24-25高三下·陕西·月考）实数x，y满足5x>2y>0，则y5x−y+xy的最小值是（ ）
A．5+15B．25+15C．5+25D．25+25
【答案】B
【分析】根据已知xy的范围，然后将目标式转化为15xy−15+xy−15+15，利用基本不等式可得.
【详解】因为5x>2y>0，所以xy>25，则xy−15>0，
所以y5x−y+xy=15xy−15+xy−15+15≥215+15=25+15，
当且仅当15xy−1=xy−15，即xy=5+15时，等号成立，
所以y5x−y+xy的最小值为25+15.
故选：B.
3（24-25高三·江苏·月考）若实数x,y 满足xy>0，则xx+y+2yx+2y的最大值为（ ）
A．2−2B．2+2C．4+22D．4−22
【答案】D
【分析】法一：把x,y用m,n表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令t=yx，再化简应用基本不等式计算得出最大值；
【详解】法一：由实数x,y 满足xy>0，
设{m=x+yn=x+2y，解得{x=2m−ny=n−m，
则xx+y+2yx+2y=2m−nm+2n−2mn=4−(nm+2mn)≤4−2nm⋅2mn=4−22，
当且仅当nm=2mn，及n=2m时等号成立，
所以xx+y+2yx+2y的最大值为4−22.
法二：令t=yx>0，
则xx+y+2yx+2y
=11+t+2t1+2t
=11+t+1−11+2t
=1+t(1+t)(1+2t)
=1+13+(2t+1t)，
由t>0得2t+1t≥22t·1t=22，
故1+13+(2t+1t) ≤1+13+22=4−22，
当且仅当2t=1t即t=22即y==22x时，取“=”，
故选：D.
题型13 三角型
1（23-24高三上·广东深圳·月考）下列结论中正确的是（ ）
A．若a>0，则a2+1a的最小值是2a
B．对任意的实数a，b均有a2+b2≥−2ab，其中等号成立的条件是a=−b
C．函数f(x)=x+1x的值域是[2,+∞)
D．函数f(x)=sin2x(3+cs2x)的最大值是2
【答案】B
【分析】利用基本不等式判断A的正误；重要不等式判断B的正误；函数的最值判断C的正误；利用基本不等式判断D的正误；
【详解】因为a>0时有a2+1a=a2+12a+12a≥33a2×12a×12a=3232，
所以a2+1a的最小值是3232，即A不正确；
对任意的实数a，b均有a2+b2+2ab=(a+b)2≥0，可得a2+b2≥−2ab，
其中等号成立的条件是a=−b，所以不等式正确.
函数f(x)=x+1x的值域是[2,+∞)，显然不正确，
因为x0，则b−12a=a+2a≥22，再根据恒成立问题转化为最值即可．
【详解】3a2−2ab+4=0即b=3a2+42a=32a+2aa>0，
∴b−12a=a+2a≥22（当且仅当a=2a=2时取等号），
又不等式b−12a≥m恒成立，
所以m≤b−12amin=22．
故选：C．
3（25-26高三上·山东济南·期中）若两个正实数x,y满足x+y=1且不等式1x+1y4，解不等式即可，
【详解】因为正实数x,y满足x+y=1，
所以1x+1y=x+y1x+1y=2+yx+xy≥2+2yx×xy=4，
当且仅当x=y,x+y=1时，即当x=12,y=12时，等号成立，即1x+1y的最小值为4．
因为不等式1x+1y4，即m2−3m−4>0，
即m−4m+1>0，解得m4．
故选：D
4（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式3t2−t≤x2−2x+2x在0,1上恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．−23,1B．−1,23
C．−43,1D．−1,43
【答案】D
【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于t的不等式解集即可；
解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于t的不等式解集即可.
【详解】关于x的不等式3t2−t≤x2−2x+2x在0,1上恒成立，
即3t2−t≤x2−2x+2xmin(00,b>0，且a+b=4，
所以1a+1b=14a+b1a+1b=142+ab+ba≥142+2ba⋅ab=1，
当且仅当a=2,b=2时，等号成立，故1a+1b的最小值为1.
故选：D.
2（25-26高三上·安徽·期中）已知a>12，当a+12a−1取最小值时，实数a的值为（ ）
A．1B．2+12C．2+1D．2+12
【答案】B
【分析】先将原式变形为a+12a−1=2a−12+12a−1+12，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由a>12得2a−1>0，
所以a+12a−1=2a−12+12a−1+12≥22a−12⋅12a−1+12=2+12，
当且仅当2a−12=12a−1，即a=2+12时取最小值.
所以a>12,a+12a−1取最小值时，实数a=2+12.
故选：B.
3（25-26高三上·山东菏泽·期中）函数fx=x2−x+11−xx>1的最大值为（ ）
A．1B．−1C．3D．−3
【答案】D
【分析】令t=x−1>0，结合基本不等式即可求解.
【详解】令t=x−1>0，得x=t+1，
则y=t+12−t+1+1−t=−t+1t−1≤−2−1=−3，
当且仅当t=1，即x=2时，取等号，
所以函数fx=x2−x+11−xx>1的最大值为−3，
故选：D
4（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知2x+y=1，则xy+3x+y的最大值是（ ）
A．1B．32C．2D．12
【答案】B
【分析】由已知等式变形得出xy+3x+y=12⋅2xy+1+1，结合基本不等式可求得xy+3x+y的最大值.
【详解】因为2x+y=1，
则xy+3x+y=xy+x+2x+y=xy+1+1=12⋅2xy+1+1
≤12×2x+y+122+1=12×1+122+1=32，
当且仅当2x=y+12x+y=1时，即当x=12y=0时，等号成立，故xy+3x+y的最大值是32.
故选：B.
5（25-26高三上·江苏·月考）已知a、b、c均为正实数，ab+ac=2，则1a+1b+c+8a+b+c的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由已知条件可得b+c=2a，由此可得出1a+1b+c+8a+b+c=a2+22a+8aa2+2，结合基本不等式可求得答案.
【详解】因为a、b、c均为正实数，则ab+ac=2，即ab+c=2，所以b+c=2a，
故1a+1b+c+8a+b+c=1a+12a+8a+2a=1a+a2+8a+2a=a2+22a+8aaa+2a
=a2+22a+8aa2+2≥2a2+22a⋅8aa2+2=4，
当且仅当a2+22a=8aa2+2a>0时，即当a=2±2时，等号成立，
故1a+1b+c+8a+b+c的最小值为4.
故选：D.
6（25-26高三上·湖南衡阳·期中）函数fx=11+x2，若a，b>0，且fa+fb=1，则a2+b2+18a+b的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】先通过函数条件得出ab=1，再将所求式子变形为对勾函数形式，利用均值不等式求最小值.
【详解】依题意，fa+fb=11+a2+11+b2=1+a2+1+b21+a21+b2=1，
1+a2+1+b2=1+a21+b2=1+a2b2+a2+b2，所以a2b2=1，
由于a,b都是正数，所以ab=1，
所以a2+b2+18a+b=a+b2−2ab+18a+b=a+b2−2+18a+b=a+b+16a+b
≥2a+b⋅16a+b=8，
当且仅当a+b=16a+bab=1，即a=2+3b=2−3或a=2−3b=2+3时等号成立，
所以a2+b2+18a+b的最小值为8.
故选：B
7（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知实数x>0，y>0，1x+4y=3，且x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．mm≤9B．mm≤3C．mm≥9D．mm≥3
【答案】B
【分析】由乘1法，求得x+y的最小值，即可求解.
【详解】x+y=13x+y1x+4y=135+yx+4xy≥135+2yx·4xy=3，
当且仅当yx=4xy，即x=1,y=2时，取等号，
所以m≤3，
故选：B
8（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A．若a2>b2，则1a0，则xy+yx≥4
C．当x∈0,π时，sinx+4sinx≥4D．若sinα+csβ=1，则sin2α+cs2β≥12
【答案】CD
【分析】利用特殊值法可判断AB选项的正误，利用基本不等式可判断CD选项的正误.
【详解】A．若a2>b2，如a=2，b=−1，则1a0，则xy>0，yx>0，取x=y>0，则xy+yx=2，故B错误；
C．因为x∈0,π，则sinx∈0,1，由基本不等式可得sinx+4sinx≥2sinx⋅4sinx=4，当且仅当sinx=2时，等号成立，
但sinx∈0,1，所以，sinx+4sinx>4，故C正确；
D．由重要不等式可得sin2α+cs2β≥2sinαcsβ，
所以，2sin2α+cs2β≥sin2α+cs2β+2sinαcsβ=sinα+csβ2=1，
则sin2α+cs2β≥12，当且仅当sinα=csβ=12时，等号成立，故D正确．
故选：CD.
9（25-26高三下·山西运城·月考）对任意的θ∈0,π2，不等式1sin2θ+4cs2θ≥2x−1恒成立，则实数x的取值范围是 ．
【答案】−∞,5
【分析】首先利用基本不等式求出1sin2θ+4cs2θ的最小值为9，再根据题意得到2x−1≤9，解不等式即可得到答案。
【详解】因为θ∈0,π2，
所以1sin2θ+4cs2θ=sin2θ+cs2θ1sin2θ+4cs2θ
=5+4sin2θcs2θ+cs2θsin2θ≥5+24=9，
当且仅当4sin2θcs2θ=cs2θsin2θ，即tanθ=22时，取等号。
又因为1sin2θ+4cs2θ≥2x−1恒成立，
所以2x−1≤9，即x≤5。
故答案为：−∞,5
10（25-26高三上·重庆·期中）已知一次函数fx为增函数，且满足ffx=4x−3，gx=kx+2k−2k≠0.
(1)若函数gx在−1,2上最大值与最小值的差为6，求k.
(2)当fx和gx满足fgx=gfx时.
（ⅰ）设a∈R，解关于x的不等式：ag2x−fx−1>x−2.
（ⅱ）求ℎx=fx+2−gx的最大值.
【答案】(1)k=±2
(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）322.
【分析】（1）利用分类讨论一次函数的单调性求最值，即可得方程求解；
（2）（ⅰ）利用待定系数法，代入函数解析式，再利用恒等式可求解参数k，然后分类讨论法来解含参的二次不等式即可；
（ⅱ）利用先证明柯西不等式，再来运用柯西不等式来求最值即可.
【详解】（1）当k>0时，由gx=kx+2k−2在−1,2上单调递增，且函数gx在−1,2上最大值与最小值的差为6，
可得：g2−g−1=4k−2−k−2=6⇒k=2，
当k0，
因为ffx=fmx+n=mmx+n+n=m2x+mn+n=4x−3，
所以m>0m2=4mn+n=−3，解得m=2n=−1，
即fx=2x−1，又因为gx=kx+2k−2k≠0，
所以fgx=fkx+2k−2=2kx+2k−2−1=2kx+4k−5，
gfx=g2x−1=k2x−1+2k−2=2kx+k−2，
又因为fgx=gfx，所以4k−5=k−2⇒k=1，
此时gx=x，
则关于x的不等式：ag2x−fx−1>x−2⇔ax2−2x>x−2⇔x−2ax−1>0，
当a0,b>0)，sinθ+1sinθ，x2+2+1x2+2等，其中要注意的是是否能够取到等号；
2 若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理.
解｜题｜策｜略
1知积求和用a+b≥2ab，知和求积用ab≤a+b24;
2 在解题中要注意对式子的观察，明确a，b所指，并且观察它们是否存在和与积的形式。
解｜题｜策｜略
1有时利用基本不等式时，确定a和b时，想得较为简单，会做不到“二定或三等”的要求，比如y=x+1x−2中令a=x，b=1x−2用基本不等式，做不到ab是定值，此时需要对a和b的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。
解｜题｜策｜略
一等式中存在a与b的和与积，利用基本不等式得到关于ab或a+b的不等式，从而求出它们的范围。
解｜题｜策｜略
1特征：条件是一个包含等式的复杂关系，可以将其中一个常数用变量表达式代替；
2解题思路：从条件等式中解出一个变量代入所求式子，或解出一个常数关系进行代换。
解｜题｜策｜略
1 特征：条件是多个变量的等式关系，求某个表达式的最值；
2解题思路：利用条件等式，将一个变量用其他变量表示，代入所求式子，转化为单变量函数或可直接用基本不等式的形式；
3 在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。
解｜题｜策｜略
1 遇到类似1a+1b与a+b其一为已知条件，令一为求其范围时，可以采取巧1法；
2 所求式子中有时可以巧妙的利用“1”的特征（比如题中条件类似a+b=1或a2+b2=2，或一些公式sin2θ+cs2θ=1等），把式子进行变形，使得其与已知条件的等式或不等式靠拢，从而达到求解的目的。
解｜题｜策｜略
1类似ax2+bx+cdx2+ex+f，aex+bcex+f的形式，常常利用到分离常数法与基本不等式等求其取值范围；
2在处理的时候往往会用到一些函数性质，要做到每一步都严谨。
解｜题｜策｜略
1 遇到含根式或高次幂的式子(类似x2+2x+1，x4+3x2x2+1)，常常用到换元法;
2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子；
3 在换元时，要注意新元的取值范围。
解｜题｜策｜略
双换元型，即引入两个新元代替原来的元，有时候采取双换元会使得式子变形得更简洁，在求解时会起到简便的效果。
解｜题｜策｜略
处理类似ax+bycx+dy的齐次式，可以分子分母同除以y得到关于xy的式子，再求解.
解｜题｜策｜略
遇到三角函数时，要注意sin2θ+cs2θ=1和sinθ或csθ自身的取值范围−1,1，有时候也会用到换元法。
解｜题｜策｜略
对于恒成立问题，用到分离参数法，可能会构造出一些常见符合能够使用“基本不等式”的形式，此时求参数范围时利用基本不等式求解。