2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题03函数的性质及应用(易错专练)(学生版+解析)

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易错点1 复合函数定义域的理解不当致错
易错典题
【例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】的定义域为.
当时，（易错点）
定义域是x的取值范围
的定义域为，即.
令，解得（易错点）
中的与中的x的取值范围一致
的定义域为，即.
“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【错因分析】本题要注意定义域是指自变量x的取值范围，此外与中的范围一致.
知识混淆：误以为x范围一致.
概念模糊：对复合函数定义域的概念不清，导致思维存在漏洞.
望文生义：求复合函数的定义域就认为是求的范围，而实质是求自变量x的范围.
避错攻略
【方法总结】已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【知识链接】1复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
2抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（25-26高三上·全国·期末）函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
易错点2 研究性质时忽略函数定义域致错
易错典题
【例2】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．，D．
【答案】B
【解析】 ，，
是奇函数，，
是定义域为上的增函数，
（易错点），
注意定义域优先
，解得，
的取值范围是.
【错因分析】求解本题时要保证2a+1和-a+2均在定义域(-3,3)内,不要忘记这个条件.
知识混淆：研究函数性质时，忽略了“定义域优先”这一原则.
概念模糊：解不等式时逻辑推导不清晰，未考虑2a+1,-a+2在定义域，导致思维存在漏洞.
望文生义：看到解不等式直接利用函数单调性脱去“f”，而忽视了考虑在函数定义域范围内解不等式.
避错攻略
【方法总结】建立“定义域优先”的解题原则.
【知识链接】1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝eq \r(x) ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
举一反三
【变式1-1】2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
易错点3 使用换元法忽略新元的范围
易错典题
【例3】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令（易错点），
注意新元t的取值范围
由，
则，即.
故选：C.
【错因分析】本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
知识混淆：将新元与旧元的取值范围混淆，从而导致错解.
概念模糊：利用换元法求得解析式后，考虑问题不周全，不求新元的取值范围，从而导致未考虑定义域的错误.
望文生义：换元法求函数解析式时，想当然认为新元范围与旧元范围一致.
避错攻略
【方法总结】换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【知识链接】1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（25-26高三上·全国·期末）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为 .
易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错
易错典题
【例4】(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=-x2+20x-64,x∈[3,12),-x-324x+76,x∈[12,40],则f(f(10))的值为 ;f(x)的最大值为 .
【答案】31;40
【解析】∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36-32436+76=31.
当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,
故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36(易错点).
注意求的是x∈[3,12)时f(x)的最大值
当x∈[12,40]时,f(x)=-x-324x+76=-x+324x+76≤-2x·324x+76=40,当且仅当x=324x,即x=18时,等号成立,则f(x)的最大值为f(18)=40.
而36