2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题03切线法应用(培优重难专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题03切线法应用(培优重难专练)(学生版+解析)，共12页。

考向01 切线基础1：“在点”切线求参
1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·山西大同·期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，曲线在点处的切线都过坐标原点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
考向02 切线基础2：“过点”切线
1．（2025高三·全国·专题练习）过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（ ）
A．cB．C．D．
2．（24-25·广东深圳·阶段练习）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考向03 切线基础3：切线条数求参
1．（2025高三·全国·专题练习）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2025高三·全国·专题练习）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A．B．
C．D．
考向04 切线基础4：存在公切线求参
1．（24-25高三上·广东广州·月考）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·海南·开学考试）函数与函数公切线的纵截距为（ ）
A．1或0B．-1或0C．1或D．-1或
3．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
故选：D．
考向05 切线转化1：距离公式几何意义型
1．（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东聊城·二模）实数满足：，，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．8
3．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 .
4．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
考向06 切线转化2：点到直线距离公式转化型
1．（25-26高二上·广东·期中）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（ ）组.
A．1B．2C．3D．4
2．（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知，函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考向8 切线转化3：构造曲线型
1．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（ ）
A．B．
C．D．e4＋5e2＋5
3．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为
A．B．C．D．
考向07 切线转化4：抽象函数切线
1．（2024·青海·二模）定义在上的函数满足，是函数的导函数，以下选项错误的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线方程为
C．在上恒成立，则
D．
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为
A．B．
C．D．
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ）
A．以为最小正周期
B．最大值是1
C．在区间上单调递减
D．在处的切线方程是
4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．1
考向09 切线法应用1：切线法零点求参
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，若存在两个不同的实数满足，且，则实数a可能的范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考向10 切线法应用2：折线双切型
1．（24-25高三上·湖北·月考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26高三上·安徽·期中）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向11 切线法应用3：不等式恒成立求参
1．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考向12 切线法应用4：牛顿法
1．（23-24高二下·江苏南通·月考）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值，的图象在点（，）处的切线与x轴的交点的横坐标为，的图象在点（，）处的切线与x轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近r.设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A．1B．C．D．
2．（23-24高二下·四川乐山·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）设r是方程f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l，l的方程为y＝f（x0）＋（x－x0），求出l与x轴交点的横坐标x1＝x0－，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2＝x1－，称x2为r的二次近似值．重复以上过程，得r的近似值序列，其中，＝－，称为r的n＋1次近似值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程－6＝0的一个根，若取x0＝2作为r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈
A．2．4494B．2．4495C．2．4496D．2．4497
4．（2023·广西·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 .
考向13 切线分隔法综合1：切线逼近型：
1．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽·一模）已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为 .
3．（2025·河北邯郸·二模）设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是 ．
4．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 .
故答案为：.
考向14 切线分隔法综合2：切线逼近整数解
1．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川达州·二模）关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·全国·模拟预测）若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是 ．
考向15 切线分隔法综合3：两根型
1．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知直线l分别与曲线，相切于点，，则的值为（）
A．2B．1C．－2D．－5
3．（2023·四川泸州·三模）已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，给出下列三个结论：；；．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
4．（2023·湖北武汉·二模）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
考向16 切线分隔法综合4：不等式3式放缩型
1．（25-26高三上·山东·月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·福建龙岩·月考）设.当时，恒有，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．8B．9C．32D．36
4．（23-24高二下·上海·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：
①在区间上优于；
②在区间上优于.
那么（ ）
A．①､②均正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①､②均错误
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广东佛山·一模）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之积为（ ）
A．B．0C．2D．3
4．（25-26高三上·江苏苏州·期中）过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，点在上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知是图象上任意一点，在处的切线与的图象交于两点，过点作图象的切线，交图象于点（与不在同一象限），连接．下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．直线与图象共有两个交点
7．（25-26高三上·安徽·期中）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．以点为坐标原点建立坐标系，若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的分别与曲线切于点P、Q、，且在x轴上．则梯形的面积最小值为（ ）
A．6B．C．D．
二、多选题
9．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．是的极小值点
C．是的极大值点
D．曲线在处的切线斜率为2
10．（25-26高三上·山东淄博·期中）设是函数的导数，若，且、，，则下列各项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知为奇函数，且时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．（25-26高三上·陕西·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
13．（25-26高三上·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
14．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则 .
结束
内容导航
速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：切线，作为导数考察的一部分，切线在近几年高考中以多种形式考察，既有选择题填空题形式考察，也在大题中进行考察，在大题中作为基础计算来考察的。考察求某点处求切线方程，考察过某点求切点或者参数，考察两天曲线的公切线，特别是作为比较难的考察点，考察切线与不等式，考察切线与零点结合的。
预测2026年：切线是导数基础知识，基本技能之一，以切线为方法的突破点，切线法应用灵活多变，所以要注意切线法的数学思想考察，切线法在转化和化归题型中的运用。
“在点”型切线，列方程求参
.若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向四，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
. “过点”型切线，核心在于先设切点
.两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
③切点在曲线上
而解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：
转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数。
转化为的交点个数的图象的交点个数问题.
.两点距离公式几何意义：
，定义。所以，如果见到形如,可以转化为两点距离来求最值，转化时候要注意每个点对应的函数或者曲线。
.点到直线距离公式，可以借助转化
.对于双变量型,选择对应的函数关系，分别作主元x与y，构造曲线（函数），转化求解。
.抽象函数取导数，按照复合函数求导法则进行求导运算。复合函数求导，简单记忆为“外导乘内导”。
.涉及到零点个数和零点存在等求参，可以借助切线分界法+单调性（包含简单易判断的凸凹函数单调性）来处理。切线分界法，需要运用“在点”与“过点”切线知识来求解。
.双折线，主要是涉及到直线含绝对值对应的折线。折线要注意以下几个容易失误的地方：
折线往往对应曲线局部的切线，要注意切线与割线过渡的交点问题，如下图所示。
绝对值型折线，有对称轴，，所以注意对称轴的“同步变化”对交点的影响。
.不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或 恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
牛顿迭代，只需要按照试题所给的定义要求，分步求对应的切线以及切线的横坐标即可
.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
函数零点个数求法，可以通过“分涵”，转化为直线与曲线交点的问题。直线与曲线的交点问题，借助切线寻找分界情况。要注意函数凸凹的情况。如下图的极端情况，要注意区分
. 对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
一侧是可求导画图的函数
一侧是含参型动直线。
通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。