2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题05导数综合应用(培优重难专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题05导数综合应用(培优重难专练)(学生版+解析)，共38页。试卷主要包含了已知函数.，已知函数，已知函数，.，已知函数，，等内容，欢迎下载使用。

考向01 导数证明不等式1：单变量数列型不等式
1．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，都有；
(3)若数列满足，证明：.
2．（2025·江苏·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：．
3．（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：，.
考向02 导数证明不等式2：隐零点型不等式
4．（25-26高三上·河南·月考）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数，
（ⅰ）设为的极值点，证明：；
（ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有.
5．（24-25高二下·广东中山·月考）已知函数，.
(1)求的极值；
(2)证明：当时，.（参考数据：）
6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，，
(1)判断在上零点的个数并证明
(2)当，求证：
考向03 导数证明不等式3：凸凹翻转型
7．（2024·青海·二模）已知函数，曲线在处的切线的斜率为.
(1)求a的值：
(2)证明：当时，.
8．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数.
(1)比较与0.33的大小，并加以证明；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（R）．
(1)若在处取得极小值，求a的值；
(2)若，求证：．
考向04 导数证明不等式4：三角函数型
10．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：；
(3)若，求实数的取值范围.
11．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数.
(1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
(2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值；
(3)求证：.
12．（2025高三上·天津武清·专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上单调递增，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
考向05 两根型偏移不等式1：两根和型
1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，判断在区间内的单调性；
(2)若有三个零点，，，且．
（i）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
2．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个正零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：.
考向06 两根型偏移不等式2：积型证明
4．（25-26高三上·河南郑州·月考）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
5．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，.
(1)当时，求函数的值域；
(2)当，时.
①判断函数的零点个数；
②设函数，若方程（）有两个不相等的正数解，证明：.
6．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个正零点，求的取值范围；
(3)设有两个零点分别为，求证：.
考向07 两根型偏移不等式3：含参型
7．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)设的导函数为，若有两个不相同的零点，.
①求实数的取值范围；
②证明：.
8．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数.
(1)若，证明：当时，；
(2)设有两个零点，且.
①当时，求的取值范围；
②当时，证明：.
9．（25-26高三上·天津·月考）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线斜率；
(2)讨论函数的极值；
(3)若存在，且当时，，当时，求证：.
考向08 两根型偏移不等式4：混合型
10．（2025·四川泸州·一模）已知函数与函数有相同的最大值.
(1)求的值；
(2)若，且恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数共有4个不同的零点，且，证明：.
11．（25-26高三上·江苏连云港·期中）已知函数，直线：.
(1)若直线与曲线相切，求实数的值；
(2)证明：对于，，使得当时，直线恒在曲线上方；
(3)若直线与曲线有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，证明：.
12．（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有3个零点，且．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
考向09 换元构造型证明不等式1：比值代换型
1．（25-26高三上·河北·月考）已知函数.
(1)求函数的极值.
(2)若，函数有两个零点，且.
①求的值；
②求证：.
2．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知函数．
(1)若时，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，存在正实数，当且仅当，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，其中，证明：．
3．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值.
(2)已知有三个不同的零点.
（i）求的取值范围；
（ii）若为较大的两个零点，证明：.
考向10 换元构造型证明不等式2：换元构造型
4．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，且，证明：.
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设是函数的两个零点，求证：．
6．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数，.
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，函数有三个极值点，，，证明：.
考向11 换元构造型证明不等式3：韦达定理型
7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若是定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，证明：.
8．（24-25高三上·北京石景山·期末）设函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若存在两个极值点，证明：.
9．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
考向12 零点恒成立求参1：三个零点型求参
1．（25-26高三上·辽宁·月考）已知函数.
(1)当时，求函数在上的最小值；
(2)已知，，若函数有三个零点，，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
2．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数
(1)曲线在点处的切线方程为，求m，b的值；
(2)若在有三个不同的零点，，，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，记，证明：．
3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数其中，且在上有三个零点，，．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围．
考向13 零点恒成立求参2：双变量型求参
4．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围；
(3)设函数，是函数的导函数，若存在两个极值点，，且满足，求实数a的取值范围．
5．（2025·四川成都·一模）已知，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的最值；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（25-26高三上·上海·月考）已知函数．
(1)若是的极小值点，求实数a的值；
(2)若在定义域上严格增，求实数a的取值范围；
(3)设有两个极值点，若，且恒成立，求实数t的取值范围．
考向14 零点恒成立求参3：三角放缩型
7．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，证明：在上恒成立；
(3)存在，不等式成立，求实数的取值范围.
8．（2025高三·天津·专题练习）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对，有，求的取值范围．
9．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知，.
(1)求在上的最大值和最小值；
(2)若对一切恒成立，试求a的最大值和b的最小值.
考向15 零点恒成立求参4：整数型
10．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式没有正整数解，求实数的取值范围.
11．（2025·江苏·模拟预测）已知函数．（其中是自然对数的底，，）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若直线是函数图像的切线，求a的值；
(3)当时，若恒成立，求整数a的最大值．
12．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时
（Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
1．已知，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：当时，；
(3)若在时恒成立，求实数的取值范围.
2．已知函数 .
(1)求函数的极值；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
3．已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，.
(1)求m的取值范围；
(2)证明：.
4．已知函数．
(1)若在处的切线方程为，求的值；
(2)当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围；
(3)当时，有三个不同零点，求的取值范围．
5．已知袋中有 个白球， 个红球， 个黑球，其中 ，这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球， 直到所有小球全部取完.
(1)若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率；
(2)记白球最先被全部取出的概率为 .
（i）求 (结果用 表示)；
（ii）已知 ，证明： .(参考数据： )
结束
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速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：导数作为高考数学的压轴模块，核心考察内容围绕 “函数性质研究”“不等式综合”“零点与极值分析” 三大维度展开，兼具基础性与综合性，对逻辑推理、运算求解及数学抽象素养要求极高。主要从以下几方面考察
1.含参函数单调性、极值与最值（必考点），· 涉及到分类讨论标准。
2.·不等式证明与恒成立、 存在性证明求参。
3.函数零点与隐零点问题 利用单调性与最值、极限思想、放缩法定位零点区间。
4.导数的几何意义，主要求切线方程、由切线求参数、切线与曲线位置关系，综合难点则会考察切线放缩用于不等式证明。
5.双变量与多变量问题问题应用，是考察的难点，涉及到考察极值点偏移、双变量同构、比值或者差值换元等
预测2026年：2026 年高考导数将延续 “工具性、综合性、选拔性” 的核心定位，同时在 “思维深度”“跨学科融合” 上有所创新。所以2026年高考导数备考关键在于：夯实基础计算能力，掌握分类讨论、构造函数、双变量转化的核心方法，适应反套路与情境化题型。通过 “分阶段突破、错题复盘、模拟实战”，可有效提升导数压轴题的得分率，为数学高分奠定基础。
数列型不等式证明
对于n型数列不等式证明，可以转化为定义域为X1,在实数范围内证明不等式。
一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围
数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
1
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
.
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.
. 三角函数与导数应用求参：
正余弦的有界性
三角函数与函数的重要放缩公式：.
. 极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
. 处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
.含参型极值点偏移：
1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；
2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
.对于混合型，可以应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
构造对数不等式时，比值代换是常见经验思维：
1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式
2.两个极值点（或者零点），可代入得到两个“对称”方程
3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。
换元构造型证明不等式的核心逻辑是通过变量代换，简化复杂结构、统一变量形式、转化为可分析的函数模型，常与导数工具结合解决含指数、对数、双变量的不等式问题。
换元的目的是 “化繁为简、化多为少”，需遵循以下 3 个原则，避免换元后更复杂：
1.简化结构：将指数、对数、分式等复杂项转化为单项式或简单多项式，例如用t=ex消去指数，用t=lnx消去对数。
2.统一变量：将双变量（x1​,x2​）转化为单变量（t），例如令t=x1​x2​​，把双变量关系转化为关于t的函数不等式。
3.匹配函数模型：换元后构造的函数需可导、易分析单调性与最值，优先转化为 “多项式函数”“分式函数” 等熟悉的模型。
利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数
x
-
0
+
0
-
单调递减
单调递增
单调递减
三个零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化．证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用一个变量表示，第二步构造新函数，证明的最小值，第三步由导数求得极小值点的范围，并对变形，第四步换元，最终转化为关于的多项式不等式，问题易于解决．
.双变量同构型，较多的是含有绝对值型。
1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。
2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解
利用导数证明三角函数型不等式，放缩主要从以下方面入手：
1正余弦的有界性
2.三角函数与函数的重要放缩公式：.
通过构造函数，借助最值或者隐零点型最值来证明。
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
则的关系为
0
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增