2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题04指数函数、对数函数与幂函数(易错专练)(学生版+解析)

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易错点1 对根式性质理解不到位出错
易错典题
【例1】(多选题)（25-26高三上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A：由（易错点），故A正确；
此选项求解时容易错写成
对于B：由，故B正确；
对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则（易错点），
注意对a分正、负数两种情况讨论
如，故C错误；
对于D：由，故D正确.
故选：ABD
【错因分析】认为，等式子成立，从而造成错解.
知识混淆：混淆根式的性质和分数指数幂的运算律，未针对根指数n分奇数和偶数讨论求解.
概念模糊：对根式及分数指数幂的概念理解不清，导致思维存在漏洞.
望文生义：想当然认为，成立，从而造成错解.
避错攻略
【方法总结】(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同；
分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
【知识链接】1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,
3．分数指数幂的意义
举一反三
【变式1-1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（多选）（25-26高三上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（多选）（25-26高三上·吉林·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
易错点2 忽略底数对指数函数性质的影响
易错典题
【例2】(2026山东泰安外国语学校月考)已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ．
【.答案】
【解析】 当时，，
当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为，
当时，，
①当时（易错点）
需对a分两种情况讨论：a>1或00且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
知识混淆：将y=lga f(x)(a>0且a≠1)的值域与y= lga (x)的值域混淆.
概念模糊：未正确理解对数型复合函数值域的求法，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到对数型复合函数时，想当然认为真数的范围为“真数大于0”，而忽视了真数还受真数表达式的影响，从而造成错误.
避错攻略
【方法总结】换元，将真数设为t，由x的范围求得t的范围，再求得复合函数的范围.
【知识链接】1.指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
2.对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【变式5-3】（多选）（25-26高三上·天津河西·月考）已知的值域为，则 ，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ．
易错点6 错判幂函数的性质
易错典题
【例6】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则，
此时的定义域为R，且，
所以幂函数是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则，
此时的定义域为R，且，
所以幂函数是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则，
此时的定义域为，不关与原点对称(易错题)，
忽略函数的定义域致错
所以幂函数不具有奇偶性，故C错误；
对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【错因分析】对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..
知识混淆：混淆幂指数为奇数、偶数时的性质，从而造成思维混乱.
概念模糊：幂函数幂指数不同，性质也不同，对幂函数性质理解模糊，从而造成错解.
望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.
避错攻略
【方法总结】幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.
【知识链接】1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
2.幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．的值域为
【变式6-2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（ ）
A．8B．18C．24D．27
【变式6-3】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知幂函数在上单调递增，.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的值域.
单选题
1．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
2．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A．B．C．D．3
3．（25-26高三·江苏·假期作业）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4.（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
7．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2B．或2C．2或D．或
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
多选题
9．（2026高三·全国·专题练习）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（25-26高三上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．的值域是
D．在上是减函数
11.（25-26高三上·江西赣州·期末）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递增
D．
填空题
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
13．（25-26高三上·山东·期中）已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为 .
14．（25-26高三上·北京大兴·月考）设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 .
解答题
15．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象.
(1)求函数的解析式，并求函数的值域；
(2)设，解关于的不等式：.
16．（25-26高三上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为.
(1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由.
(2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围.
(3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由.
17．（25-26高三上·山东东营·期末）已知函数的定义域为，对于，不等式的解集为.
(1)若，，求；
(2)证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意的，都有”；
(3)已知，对于任意的，，不等式的解集为，不等式的解集为，当，都有，求实数的取值范围.
18．（2026·云南大理·二模）已知函数．
(1)当时，求的定义域；
(2)若在区间上单调递减，求a的取值范围；
(3)当时，证明：若，，则．（参考数据：，，）
分数指数幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义