2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02指对幂函数(高效培优专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02指对幂函数(高效培优专项训练)(全国通用)(学生版+解析)，共10页。试卷主要包含了设大于1的实数，满足，，则，已知正数满足，则的最小值为，方程的解为 ，已知，求的值；，已知函数.，设，，求的值等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc210928886" 考点01 指数幂的化简与求值 PAGEREF _Tc210928886 \h 1
\l "_Tc210928887" 考点02 指数函数的图像及性质 PAGEREF _Tc210928887 \h 2
\l "_Tc210928888" 考点03 对数式的化简与求值 PAGEREF _Tc210928888 \h 5
\l "_Tc210928889" 考点04 对数的图像及性质 PAGEREF _Tc210928889 \h 6
\l "_Tc210928890" 考点05 幂函数的图像及性质 PAGEREF _Tc210928890 \h 9
\l "_Tc210928891" 考点06 指对幂函数的实际应用 PAGEREF _Tc210928891 \h 11
考点01 指数幂的化简与求值
1．设大于1的实数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
3．方程的解为 ．
4．（1）已知，求的值；
（2）化简；
（3）．
5．已知函数.
(1)若为奇函数，求；
(2)求.
6．设，，求的值．
考点02 指数函数的图像及性质
1．已知函数（且）是奇函数，则（ ）
A．1B．3C．D．
2．下列函数是偶函数且在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
4．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．方程有两个不相等的实数根，则
7．（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．在上单调递减
C．为奇函数D．无最值
8．已知函数的最大值为2025，则的值为 .
9．函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)求证：函数的图象关于点中心对称；
(3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围．
10．已知函数（，且）.
(1)若，求函数在上的值域；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
考点03 对数式的化简与求值
1．设函数（a，b为实数），已知，则的值为（ ）
A．B．4C．5D．与a，b的取值有关
2．已知正数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．数学家从实际生活中发现如下现象，在大量的十进制随机数据中，以开头的数出现的概率为.若，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
4．已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知 则 ．
6． .
考点04 对数的图像及性质
1．设分别是函数和的零点，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是 .
4．命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的 条件
5．已知函数，则不等式的解集为 ．
6．已知函数（且）的图象过点．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)求函数的零点个数．
7．已知函数（且）的图象过点.
(1)求；
(2)当时，存在偶函数和奇函数，使得.
（i）求和的解析式；
（ii）求不等式的解集.
8．已知函数在上的最大值为，集合.
(1)求的值，并用区间的形式表示集合；
(2)若，对，都，使得，求实数的取值范围.
9．已知函数是定义在R上的偶函数．
(1)求k的值；
(2)设，且，若，求面积的取值范围．
10．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”．
(1)判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；
(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
11．（1）求函数的值域；
（2）已知，求的最大值.
12．已知函数．
(1)若，解方程；
(2)若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求；
(3)若，且，解关于的不等式．
考点05 幂函数的图像及性质
1．已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（ ）
A．8B．4C．D．
2．方程的所有实数根的平方和为（ ）
A．B．C．D．
3．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）已知函数， 则以下结论正确的是（ ）
A．函数为增函数
B．，不等式恒成立
C．若， 在，上恒成立，则的最小值为
D．若关于的方程有三个不同的实根，则
5．已知函数，则不等式的解集为 .
6．已知幂函数在上单调递增.
(1)求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
7．已知幂函数在区间上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围.
8．已知函数，.
（1）若函数的定义域为，求的取值范围；
（2）若对任意，总有，求的取值范围.
考点06 指对幂函数的实际应用
1．数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（ ）
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱．
A．①④B．①②③C．①②④D．①②③④
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是；
③若，则当时，恒成立；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则.
A．①③④B．③④C．②③④D．①②④
4．2025年8月16日，山东省青州市发生里氏3.0级地震，8月17日，印尼苏拉威西岛发生5.8级地震.5级以上的地震属于破坏性地震，地震破坏性的大小与其释放的能量密切相关，研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）与震级M之间满足（其中λ，μ为常数）．已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为焦耳，则这次在印尼苏拉威西岛发生的地震所释放的能量约为（ ）（参考数据：，）
A．焦耳B．焦耳C．焦耳D．焦耳
5．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：，）
A．0.5B．0.7C．0.9D．1.1
6．古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ）
（参考数据：，）
A．B．
C．D．
7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（ ）
A．B．C．D．
8．某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润．
9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时p的比率减少．现有驾驶员甲乙两人喝了一定量的酒后，测试他们血液中的酒精含量均上升到了．（运算过程保留4位小数，参考数据：，．．，）
(1)若驾驶员甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为，则驾驶员甲至少要经过多少个小时才能合法驾驶？（最后结果取整数）
(2)驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，请你结合（1）的计算，从数学角度给驾驶员乙简单分析其中的原因，并为乙能够合法驾驶提出合理建议；
(3)驾驶员乙听了你的分析后，在不改变饮酒量的条件下，在停止饮酒后6小时和7小时各测试一次并记录结果，经过一段时间观察，乙发现自己至少要经过7个小时才能合法驾驶．请你帮乙估算一下：他停止饮酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围．（最后结果保留两位小数）
指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数，
(3)若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底数是带分数，则先化成假分数，
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示运用指数幂的运算性质来解答，
1.指数函数的图像及性质
a>1
01；
当x0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
（4）换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
2.利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简
3.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因经常会用到换底公式及其推论，利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
1.对数函数的图象与性质．
a>1
00；
当00，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
2.利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简
3.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因经常会用到换底公式及其推论，利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
1.对数函数的图象与性质．
a>1
00；
当0