2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题4.3几何法求线线角、线面角、二面角(培优热点专练)(学生版+解析)

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题型01 定义法求线线角
1．（2025·贵州·模拟预测）在正三棱柱中，已知，D，E分别在棱上，且，，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
4．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江西宜春·模拟预测）已知平面，异面直线与所成的角是，则线段的长为 .
题型02 定义法求线面角
1．（2025·湖北·三模）在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为 .

3．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上.
(1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小；
(2)证明：平面平面
5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在菱形中，，，分别为的中点，，，将沿翻折，使到处，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
题型03 体积法求线面角
1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．6
3．（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．

(1)求证：
(2)当时，求直线与直线所成角的余弦值
(3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，已知三棱锥.
(1)证明：平面平面；
(2)若三棱锥的各顶点都在球的球面上，求球的半径：
(3)求直线与平面所成的角的正弦值.
5．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．

(1)证明：平面；
(2)若2，求直线与平面所成角的正弦值．
题型04 定义法求二面角
1．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知，，分别是正四面体的棱，，的中点，则下列结论正确的有（ ）．
A．平面B．
C．平面与平面夹角为D．平面平面
2．（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若二面角的平面角大小为，则的最大值为
3．（2025·甘肃白银·二模）如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，平面ABE与直线交于点G．
(1)求四棱锥的体积；
(2)求平面ABEG与平面CEG所成角的正弦值．
题型05 三垂线法求二面角
1．（2025·湖南长沙·一模）已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为 .
2．（2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面和侧面均为正方形.
(1)证明: ；
(2)若，求二面角的余弦值.
4．（2025·浙江·三模）如图，已知四棱台的体积为，底面为等腰梯形，，，，平面，且与相交于点E.
(1)证明：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
5．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在正四棱柱中，为上的点，.
(1)若，证明：；
(2)若平面，求二面角的正切值.
题型06 垂面法求二面角
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为.
(1)在四棱锥中，求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的大小.
2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体中，四边形是平行四边形，，，，，在底面的射影为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
3．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心．
(1)证明：；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
4．（2025·河南·模拟预测）如图，在正三棱锥中，，为的中点.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
题型07 射影面积法求二面角
1．（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱AA',BB',CC'上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积；
(3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围.
3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(1)求证：平面ADE；
(2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值．
4．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
5．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
题型08 补形法求二面角
1．（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ）
A．为母线
B．
C．
D．平面与平面的夹角等于30°
2．（2025·四川宜宾·三模）如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
3．（2025·河北张家口·三模）如图，在正三棱柱中，，，且，满足，，过，，三点的平面与棱交于点，若.
(1)求的值；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求平面与平面夹角的正切值.
4．（2025·广东佛山·二模）如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，E是的中点.过点C，E，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.
(1)在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
题型9 线面角与二面角综合
1．（多选）（2025·全国·模拟预测）如图，平面四边形满足，与交于点，若将沿翻折，得到三棱锥，已知二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，与始终垂直
B．在翻折过程中，始终成立
C．在翻折过程中，的最大值为
D．当平面平面，则三棱锥为正三棱锥
2．（多选）（2025·上海虹口·一模）如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ）
A．异面直线和所成角的大小为
B．直线与平面所成角的大小为
C．
D．的面积为
3．（多选）（2025·广东广州·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，P为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线OP和三个侧面所成的角分别为α，β，γ，则（ ）
A．该三棱锥的外接球半径为B．
C．D．当时，P点的轨迹长度为
4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在三棱柱中，为正三角形，为等腰三角形，且为底边，为的中点，，平面平面.

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值.
5．（2025·广西柳州·三模）如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值.
题型10 线面角、二面角与圆锥曲线
1．（多选）（2025·山东济南·模拟预测）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，点在底面ABCD内（包含边界），且直线底面ABCD，记直线PA与底面ABCD所成角为，PB与底面ABCD所成角为，二面角P-CD-A的平面角为，则（ ）
A．若，则在AB的垂直平分线上
B．若，则的轨迹长度为
C．若，则的轨迹为抛物线的一部分
D．若，则当与面积之比为时，



2．（2025·上海·三模）已知长方体中，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是 .
3．（2025·广东·模拟预测）在三棱锥中，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值为 .
4．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 .
5．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）在三棱锥中，，，，，且，则（ ）
A．点的轨迹为椭圆
B．当平面固定时，点的轨迹对应曲线的离心率为
C．当二面角为时，的面积与的面积之和有最大值
D．二面角的余弦值的最小值为
（建议用时：30分钟）
1．（2025·广东·模拟预测）在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西宜春·一模）如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面平面，且平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，则三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．若，则
C．若，则直线与所成角的余弦值为
D．若，则平面与平面的夹角为
5．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）在棱长为2的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是（ ）
A．若是的中点，则
B．若在线段上，则
C．若，则的轨迹长度是
D．若，则不在面上
6．（2025·湖北·模拟预测）已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选）（2025·广东清远·二模）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面与平面所成角的余弦值为
C．若，则点轨迹的长度为
D．若点在直线上，则的最小值为
8．（2025·山西晋城·模拟预测）已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.

(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正切值；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，.
(1)求证：点为线段的中点；
(2)若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面.
(3)设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围.
10．（2025·江苏·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求该三棱柱的体积.
近三年：
在立体几何板块，高考命题强调“建系法、几何法、向量法三法并重”，突出化归转化思想。这些年立体几何大题逐渐显示出非常规建系、配合几何法、向量法等方式。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列的通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向量法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。
预测2026年：
基于以上分析，几何法在2026年高考中预计将继续受到重视， “几何法”的核心价值在于它直接锻炼了立体几何最本质的空间想象与逻辑推理能力，这在当前“去套路化”的命题趋势下尤为重要。你在备考中需要将其放在与向量法同等重要的位置进行系统性训练。
解｜题｜策｜略
一、概念
异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为(0,π2]（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。
二、用定义求异面直线所成角
利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。
解｜题｜策｜略
线面角的定义：平面上的一条斜线PA与它在平面α的射影AB所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为[0°,90°]. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。
定义法：能直接找到P点在α平面的射影B点，能计算出|PB|或者|AB|，则线面角的正弦或余弦可求。
解｜题｜策｜略
体积法：如果没法直接找到P点在α平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出P点到α平面的高度ℎ，则线面角的正弦可求。
解｜题｜策｜略
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱l垂直的射线，如图a,b则它们组成的角为二面角的平面角，范围为[0°,180°]
定义法：如果能直接过棱l上一点，找到与棱l垂直的两条线，则直接找到了二面角。
目标：找与棱l垂直的两条线
解｜题｜策｜略
三垂线法：当无法直接找到与棱l垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α找一点P点，过P点作平面β的垂线PA（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面β垂直的平面，在平面上作垂线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB，即可求二面角的平面角。
解｜题｜策｜略
垂面法: 若题目条件中能找到棱l垂直的平面，则找出该平面与α，β的交线即可。若题目中有与棱l垂直的直线，如图如果AP与棱l垂直，则可以构造出与棱l垂直的平面，即可求出二面角的平面角。
解｜题｜策｜略
射影面积法：已知平面β内的△ABP在平面α的投影为△A'B'P'，则平面α和平面β所成的二面角的平面角大小为θ，则cs θ=S△A'B'P'S△ABP
射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。
解｜题｜策｜略
补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。
解｜题｜策｜略
线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过这个给出其中一个，求另外一个。
解｜题｜策｜略
线面角、二面角与圆锥曲线结合时，属于综合性较强的创新题或压轴题。利用圆锥曲线的定义来判断动点轨迹，根据轨迹来求线面角、二面角。