2026年高考数学一轮专题训练：幂函数、指数函数、对数函数 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：幂函数、指数函数、对数函数 [含答案]，共15页。
A．a＞b＞2B．a＞2＞bC．b＞a＞2D．2＞a＞b
2．（2025春•青羊区校级期中）已知函数f（x）＝kx﹣1与g（x）＝ex的图象上存在关于直线y＝x对称的点，则k的值不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．（2025•安徽模拟）已知x，y∈R，且9x+（x﹣2）•3x＝1，9y﹣1+y•3y＝9，则x+y＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2025春•崂山区校级期中）设a=23，b=sin23，c=2ln32，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c
5．（2025春•镇海区校级期中）已知函数f（x）＝2x，若存在实数a，b，c使得f（b）+f（c）＝f（b）f（c）且f（a）+f（b）+f（c）＝f（a）f（b）f（c）成立，则a的取值范围为（ ）
A．(0，lg243]B．(0，lg223]
C．(−∞，lg223]D．(−∞，lg243]
6．（2025•山东模拟）lg35+e15（e＝2.72…是自然对数的底数）的值所在区间是（ ）
A．(2，94)B．(94，52)C．(52，114)D．(114，3)
7．（2025春•福州期中）已知a=ln24，b=1e2，c=ln714，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
8．（2025•成都校级模拟）若b＞1，a∈R，且ea+2lnb=1b−a，则（ ）
A．a2＜bB．a2＞bC．ea＞b﹣1D．ea＞b﹣2
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•辽宁月考）已知正实数a，b满足ln（a+b）＝lna+lnb，则（ ）
A．ab≥4B．a+4b≥12
C．1a−1+1b−1≥2D．1a+1+1b+1≤23
10．（2024秋•昆明期末）已知m，n为正实数，满足em+m＝lnn+n＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝2B．em•lnn≥1C．2＜em+nD．en﹣m＜e2
11．（2024秋•西安期末）已知实数x，y满足3x＝5y﹣2y，且x＞y，则（ ）
A．x＞1B．0＜y＜1
C．lgx3＞lgy3D．lgx3＜lgy3
12．（2024秋•沙依巴克区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题p：∀x∈[0，1]，x2+x≤0的否定是∃x∈[0，1]，x2+x＞0
B．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm的图象不过原点，则实数m＝﹣1
C．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2，则（1+lg2b）lg2a的最大值为1
D．函数y＝ex+1和y＝lnx﹣1的图象与直线y＝2﹣x交点的横坐标分别为a、b，则a+b＝2
三．填空题（共4小题）
13．（2024春•道县校级期中）已知0＜a＜1且a≠12，若函数f（x）＝2lgax﹣lg2ax在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
14．（2024秋•黄浦区校级期中）设f(x)=2a⋅(12)|x|+b，若实数a，b满足a+b＝0，且函数y＝f（x）的图像可以无限接近直线y＝1但又永远不相交，则不等式f(x)＞34的解集为 ．
15．（2024秋•浦东新区校级期末）已知实数x，y满足ex+1+x=32，12y2+lny=54，则exy2= ．
16．（2024秋•北京校级月考）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减．
①m的值为 ；
②记I＝[a，2a]（a＞0），S＝{y|y＝f（x），x∈l}，若I∩S＝∅，则a的取值范围是 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋•泰州期末）已知函数f（x）＝lg2（4x+a•2x+4），其中a∈R．
（1）当a＝﹣5时，求f（x）的定义域；
（2）若对任意实数x，f（2x）≥f（x），求a的值；
（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．
18．（2025春•辽宁月考）已知幂函数f(x)=(2m2+3m+1)xm2−m−2(m∈R)为偶函数．
（1）求实数m的值，并写出f（x）的单调区间（不必证明）；
（2）若f（2x﹣1）＞f（x），求x的取值范围．
19．（2024秋•调兵山市校级期末）已知函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值，并证明：f（x）在R上单调递增；
（2）求不等式f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（3）若g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x）在区间[﹣1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
20．（2024秋•庐阳区校级期末）设f（x）＝lga（1+x）+lga（5﹣x）（a＞0，a≠1），且f（2）＝﹣2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[12，4]上的最值．
幂函数、指数函数、对数函数
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025•唐山二模）已知a＝lg23+lg32，b＝lg45+lg54，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞2B．a＞2＞bC．b＞a＞2D．2＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据对勾函数的单调性及最值，以及lg23、lg45与1的大小关系，可得结论．
解：设f（x）＝x+1x，x＞0，
则由对勾函数单调性，f（x）在（0，1）上递减，（1，+∞）上递增，f（x）min＝f（1）＝2，
且a＝lg23+lg32＝lg23+1lg23=f（lg23），b＝lg45+lg54＝lg45+1lg45=f（lg45），
因为lg23＞lg25=lg45＞1，所以f（lg23）＞f（lg45）＞f（1），即a＞b＞2．
故选：A．
【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于中档题．
2．（2025春•青羊区校级期中）已知函数f（x）＝kx﹣1与g（x）＝ex的图象上存在关于直线y＝x对称的点，则k的值不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】反函数．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据函数g（x）＝ex与函数h（x）＝lnx关于直线y＝x对称，求函数f（x）＝kx﹣1与h（x）＝lnx有交点即可，求直线f（x）＝kx﹣1与h（x）＝lnx相切时k的值，即可得出函数f（x）＝kx﹣1与h（x）＝lnx有交点时k的取值范围．
解：因为函数g（x）＝ex与函数h（x）＝lnx关于直线y＝x对称，
所以函数f（x）＝kx﹣1与g（x）＝ex的图象上存在关于直线y＝x对称的点，
即函数f（x）＝kx﹣1与h（x）＝lnx有交点，可知函数f（x）为过定点P（0，﹣1）的直线，
考虑直线与h（x）＝lnx相切时，设切点Q（x0，lnx0），
由h′(x)=1x，可得k=h′(x0)=1x0，可知切线l：y−lnx0=1x0(x−x0)，
由切线l过P（0，﹣1），解得x0＝1，所以k＝1．
由图可知，k≤1时函数f（x）＝kx﹣1与h（x）＝lnx有交点．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
3．（2025•安徽模拟）已知x，y∈R，且9x+（x﹣2）•3x＝1，9y﹣1+y•3y＝9，则x+y＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】B
【分析】由9x+（x﹣2）•3x＝1，得出3x﹣3﹣x+x﹣2＝0①；由9y﹣1+y•3y＝9，得出32﹣y﹣3y﹣2+（2﹣y）﹣2＝0②；函数f（x）＝3x﹣3﹣x+x﹣2是定义域R上的单调增函数，且f（x）＝f（2﹣y），由此得出x+y的值．
解：由9x+（x﹣2）•3x＝1，两边都除以3x，得3x+（x﹣2）＝3﹣x，即3x﹣3﹣x+x﹣2＝0①；
由9y﹣1+y•3y＝9，两边都除以3y，得3y﹣2+y＝32﹣y，即32﹣y﹣3y﹣2﹣y＝0，
整理得32﹣y﹣3y﹣2+（2﹣y）﹣2＝0②；
由①②可知，函数f（x）＝3x﹣3﹣x+x﹣2是定义域R上的单调增函数，且f（x）＝f（2﹣y），
所以x＝2﹣y，即x+y＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
4．（2025春•崂山区校级期中）设a=23，b=sin23，c=2ln32，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据f（x）＝x﹣sinx，x∈[0，π2]上的单调性，可得a，b大小，由e23＜(32)2，可得a，c大小，从而得到a，b，c的大小．
解：设f（x）＝x﹣sinx，x∈[0，π2]，f'（x）＝1﹣csx≥0在[0，π2]上恒成立，
所以f（x）在[0，π2]上递增，则f（23）＞f（0），即23−sin23＞0，故23＞sin23，a＞b，
因为e2＜9＜72964=(32)6，所以e23＜(32)2，所以lne23＜ln(32)2，即23＜2ln32，a＜c，
故c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于中档题．
5．（2025春•镇海区校级期中）已知函数f（x）＝2x，若存在实数a，b，c使得f（b）+f（c）＝f（b）f（c）且f（a）+f（b）+f（c）＝f（a）f（b）f（c）成立，则a的取值范围为（ ）
A．(0，lg243]B．(0，lg223]
C．(−∞，lg223]D．(−∞，lg243]
【考点】由指数函数的单调性求解参数．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由已知可得2b+2c＝2b+c，2a+2b+2c＝2a+b+c，令2a＝x，2b＝y，2c＝z，用含y与z的代数式表示x，结合基本不等式求最值，可得x的范围，进一步求得a的范围．
解：由f（x）＝2x，f（b）+f（c）＝f（b）f（c），f（a）+f（b）+f（c）＝f（a）f（b）f（c），
得2b+2c＝2b+c，2a+2b+2c＝2a+b+c，
令2a＝x，2b＝y，2c＝z，
则y+z=yz①x+y+z=xyz②，由②得，x=yzyz−1，
由y+z＝yz，得yz＝y+z≥2yz，得yz≥4，
∴x=yzyz−1=11−1yz∈（1，43]，
可得a∈（0，lg243]．
故选：A．
【点评】本题考查利用指数函数的单调性求解参数，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
6．（2025•山东模拟）lg35+e15（e＝2.72…是自然对数的底数）的值所在区间是（ ）
A．(2，94)B．(94，52)C．(52，114)D．(114，3)
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】利用对数及指数的运算性质结合放缩法分别求得lg35及e15的范围，即可求得答案．
解：lg35=32lg2725＜32lg2727=32，
37＝2187，55＝3125，
则lg35=75lg21873125＞75lg21872187=75，
故75＜lg35＜32．
又当0＜x＜1时，x+1＜ex＜11−x，
∴15+1＜e15＜11−15=54，
∴65+75＜lg35+e15＜32+54，即135＜lg35+e15＜114，
而135＞52，∴52＜lg35+e15＜114．
故选：C．
【点评】本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，难度大．
7．（2025春•福州期中）已知a=ln24，b=1e2，c=ln714，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据y＝lnx在（0，+∞）上递增，可判断a，c大小；构造函数f（x）=lnx2x，分析单调性，可比较b，c大小，最终得出a，b，c大小．
解：因为y＝lnx在（0，+∞）上递增，214﹣74＝（27+72）（27﹣72）＞0，
所以214＞74，所以ln214＞ln74，
即14ln2＞4ln7，则有ln24＞ln714，故a＞c，
记f（x）=lnx2x，则f'（x）=2−2lnx(2x)2=1−lnx2x2，x＞0，
x∈（0，e），f'（x）＞0，f（x）递增，x∈（e，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，
因为f（e2）=lne22e2=1e2，f（7）=ln714，e＜7＜e2，
所以f（7）＞f（e2），ln714＞1e2，c＞b，
所以a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数值大小比较，属于中档题．
8．（2025•成都校级模拟）若b＞1，a∈R，且ea+2lnb=1b−a，则（ ）
A．a2＜bB．a2＞bC．ea＞b﹣1D．ea＞b﹣2
【考点】对数运算求值；函数的单调性．
【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】由已知可得ea+a=1b−2lnb=1b+2ln1b，构造函数f（x）＝ex+x，由其单调性即可得结论．
解：由ea+2lnb=1b−a，得ea+a=1b−2lnb=1b+2ln1b，
∵b＞1，∴ln1b＜0，1b＞1b2，
则1b2+ln1b2＜1b+2ln1b＜1b+ln1b，
令f（x）＝ex+x，该函数为R上的增函数，
则f(ln1b2)＜f（a）＜f（ln1b），即ln1b2＜a＜ln1b，可得b﹣2＜ea＜b﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算性质，考查函数单调性的应用，构造函数是关键，属难题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•辽宁月考）已知正实数a，b满足ln（a+b）＝lna+lnb，则（ ）
A．ab≥4B．a+4b≥12
C．1a−1+1b−1≥2D．1a+1+1b+1≤23
【考点】对数的运算性质；运用基本不等式求最值．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】根据对数运算性质得ab＝a+b，a＞0，b＞0，对于A，直接应用基本不等式即可判断；对于B，由ab＝a+b得1b+1a=1，有a+4b=(a+4b)(1b+1a)，借助基本不等式判断；对于C，由题意（a﹣1）（b﹣1）＝1，直接应用基本不等式即可，对于D，将1a+1+1b+1化为12+322ab+1，然后利用反比例函数的单调性求解即可．
解：正实数a，b满足ln（a+b）＝lna+lnb，
对于A，∵正实数a，b满足ln（a+b）＝lna+lnb＝lnab，
∴ab＝a+b，a＞0，b＞0，
由基本不等式得ab＝a+b≥2ab，解得ab≥4，
当且仅当a=bab=a+b，即a＝b＝2时，ab取到最小值4，故A正确；
对于B，由ab＝a+b得1b+1a=1，
∴由基本不等式得a+4b＝（a+4b）（1b+1a）=ab+4ba+5≥2ab⋅4ba+5＝9，
当且仅当ab=4ba1b+1a=1，即a=3b=32时，a+4b取到最小值9，
∴a+4b≥9，故B错误；
对于C，∵ab＝a+b，a＞0，b＞0，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝1，
∴1a−1＞0，1b−1＞0，
∴由基本不等式得1a−1+1b−1≥21a−1⋅1b−1=2，
当且仅当1a−1=1b−11b+1a=1，
即a＝b＝2时，1a−1+1b−1取到最小值2，
∴1a−1+1b−1≥2，故C正确；
对于D，1a+1+1b+1=a+b+2ab+a+b+1=ab+2(a+1)(b+1)=ab+22ab+1=12+322ab+1，
由A选项得ab≥4，
∵由反比例函数的单调性得：
函数y=12+322x+1在[4，+∞）上单调递减，
∴12+322ab+1≤12+322×4+1=23，
∴1a+1+1b+1≤23，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查对数运算性质、基本不等式、反比例函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2024秋•昆明期末）已知m，n为正实数，满足em+m＝lnn+n＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝2B．em•lnn≥1C．2＜em+nD．en﹣m＜e2
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】根据题意分析可知，m＝lnn，0＜m＜1，1＜n＜2，再逐项分析判断即可．
解：依题意，em+m＝elnn+lnn＝2，
又y＝ex+x为R上的增函数，
则m＝lnn，
又e0+0＝1＜2，e1+1＞2，
则0＜m＜1；
由于函数y＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增，且ln1+1＝1＜2，ln2+2＞2，
则1＜n＜2；
对于A，m+n＝m+em＝2，正确；
对于B，em•lnn＝（2﹣m）（2﹣n），
又1＜2﹣m＜2，0＜2﹣n＜1，
则0＜（2﹣m）（2﹣n）＜2，错误；
对于C，em+n＝2n∈（2，4），正确；
对于D，en﹣m＝en﹣lnn＝en﹣（2﹣n）＝en+n﹣2∈（e﹣1，e2），正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质等知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（2024秋•西安期末）已知实数x，y满足3x＝5y﹣2y，且x＞y，则（ ）
A．x＞1B．0＜y＜1
C．lgx3＞lgy3D．lgx3＜lgy3
【考点】对数值大小的比较．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【正确答案】AD
【分析】本题利用指数函数、对数函数的单调性以及对数函数的图象特征进行求解．
解：因为3x＝5y﹣2y，所以3x﹣y＝（53）y﹣（23）y，
因为x＞y，所以3x﹣y＞1，即（53）y﹣（23）y＞1
又因为f（t）＝（53）t﹣（23）t在（0，+∞） 单调递增，且f（0）＝0，f（1）＝1，f（y）＞1，
所以y＞1，则x＞y＞1，A选项正确，B选项错误；
作出对数函数h（a）＝lgxa（x为大于1的常数）和m（a）＝lgya（y为大于1的常数且x＞y）的图象，如图所示，
可得lgx3＜lgy3，故C选项错误，D选项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性以及对数函数的图象，属于中档题．
12．（2024秋•沙依巴克区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题p：∀x∈[0，1]，x2+x≤0的否定是∃x∈[0，1]，x2+x＞0
B．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm的图象不过原点，则实数m＝﹣1
C．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2，则（1+lg2b）lg2a的最大值为1
D．函数y＝ex+1和y＝lnx﹣1的图象与直线y＝2﹣x交点的横坐标分别为a、b，则a+b＝2
【考点】指数函数的图象；对数函数的图象；求全称量词命题的否定；求幂函数的解析式．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】利用全称量词命题的否定判断A；利用幂函数定义及性质判断B；结合对数函数的性质分类讨论判断C；利用互为反函数的图象特征判断D．
解：对于A，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p的否定为∃x∈[0，1]，x2+x＞0，所以A正确；
对于B，依题意可得m2−3m−3=1m＜0，解得m＝﹣1，所以B正确；
对于C，由a＞0，b＞0，且a+2b＝2，令a＝1﹣t，2b＝1+t，由对称性不妨令0≤t＜1，
则（1+lg2b）•lg2a＝lg22b•lg2a＝lg2（1+t）lg2（1﹣t），
而lg2（1﹣t）≤0，0≤lg2（1+t）＜1，因此（1+lg2b）lg2a≤0，所以C错误；
对于D，函数y＝ex+1和y＝lnx﹣1互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
而直线y＝2﹣x垂直于直线y＝x，则点（a，2﹣a）与（b，2﹣b）关于直线y＝x对称，
因此2﹣a＝b，即a+b＝2，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查全称量词命题的否定，幂函数的定义及性质，对数函数及性质，反函数的图象，属于中等题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024春•道县校级期中）已知0＜a＜1且a≠12，若函数f（x）＝2lgax﹣lg2ax在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为 (0，14)∪(12，1) ．
【考点】由对数函数的单调性求解参数；对数的运算性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】(0，14)∪(12，1)．
【分析】由换底公式将f（x）化简，由函数的单调性建立不等式并求解即可．
解：因为f(x)=2lnxlna−lnxln2a=2ln2a−lnalna⋅(ln2a)⋅lnx=ln4alna⋅(ln2a)⋅lnx，
又因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以ln4alna⋅(ln2a)＜0，又0＜a＜2a＜4a，
∴ln4a＜0或lna＜0ln2a＞0，解得0＜a＜14或12＜a＜1．
故(0，14)∪(12，1)．
【点评】本题主要考查了对数函数性质及复合函数单调性的应用，属于中档题．
14．（2024秋•黄浦区校级期中）设f(x)=2a⋅(12)|x|+b，若实数a，b满足a+b＝0，且函数y＝f（x）的图像可以无限接近直线y＝1但又永远不相交，则不等式f(x)＞34的解集为 {x|x＜﹣3或x＞3} ．
【考点】由指数函数的单调性求解参数．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】{x|x＜﹣3或x＞3}．
【分析】当x→∞时，y=2a⋅(12)|x|→0，再结合f（x）的图象无限趋近于1，可得b＝1，则a＝﹣1，不等式可解．
解：因为x→∞时，(12)|x|→0，
所以x→∞，f(x)=2a⋅(12)|x|+b→b，所以b＝1，a＝﹣1，
所以f（x）=−2⋅(12)|x|+1，
所以不等式f(x)＞34可化为(12)|x|＜18=（12）3，
又因为y=(12)x是减函数，所以|x|＞3，
解得x＜﹣3或x＞3，
故{x|x＜﹣3或x＞3}．
【点评】本题考查含绝对值的函数与指数函数的性质，不等式的解法，属于中档题．
15．（2024秋•浦东新区校级期末）已知实数x，y满足ex+1+x=32，12y2+lny=54，则exy2= 1e ．
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】1e．
【分析】利用指数与对数运算即可求解．
解：因为ex+1+x=32，
所以ex+1+x+1=52，
又12y2+lny=54，
所以y2+2lny=52，
即y2+lny2=52，
即有ex+1+x+1＝y2+lny2，
所以y2＝ex+1，
所以exy2=exex+1=1e．
故1e．
【点评】本题考查指数与对数的运算，属于中档题．
16．（2024秋•北京校级月考）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减．
①m的值为 ﹣1 ；
②记I＝[a，2a]（a＞0），S＝{y|y＝f（x），x∈l}，若I∩S＝∅，则a的取值范围是 （0，12）∪（1，+∞） ．
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】①﹣1；
②（0，12）∪（1，+∞）．
【分析】①根据幂函数的定义及性质求解即可；
②函数的单调性可得S＝[12a，1a]，再根据I∩S＝∅，求解即可．
解：①因为幂函数f（x）＝（2m2﹣m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，
所以m2−m−2=0m＜0，解得m＝﹣1，
所以f（x）＝x﹣1；
②因为f（x）=1x，a＞0，
所以函数y＝f（x）在[a，2a]上单调递减，
所以y∈[12a，1a]，
即S＝[12a，1a]，
又因为I∩S＝∅，
所以a＞01a＜a或a＞02a＜12a，
解得a＞1或0＜a＜12，
所以a的取值范围为（0，12）∪（1，+∞）．
故①﹣1；
②（0，12）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了集合间的基本运算，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋•泰州期末）已知函数f（x）＝lg2（4x+a•2x+4），其中a∈R．
（1）当a＝﹣5时，求f（x）的定义域；
（2）若对任意实数x，f（2x）≥f（x），求a的值；
（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【正确答案】（1）x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）；（2）a＝﹣2；（3）证明见解析．
【分析】（1）把a＝﹣5代入真数大于0即可求解；
（2）代入已知f（2x）≥f（x）根据对数函数单调性即可转化为关于x的不等式；
（3）利用函数性质去判断函数对称性．
解：（1）当a＝﹣5时，f(x)=lg2(4x−5⋅2x+4)要使对数有意义，
只需满足4x﹣5•2x+4＞0．
令2x＝t（t＞0）则不等式变为t2﹣5t+4＞0，解得t＜1或t＞4．
即2x＜1或2x＞4，解得：x＜0或x＞2，
因此，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
（2）要使对任意实数x，f（2x）≥f（x）成立，需满足lg2(42x+a⋅22x+4)≥lg2(4x+a⋅2x+4)，
即：42x+a•22x+4≥4x+a•2x+4，令2x＝m（m＞0），
则不等式变为m4+a•m2﹣m2﹣a•m≥0．化简得m（m3+am﹣a﹣m）≥0，
由于m＞0，要使不等式恒成立，需m3+am﹣a﹣m≥0．
（m3﹣m）+a（m﹣1）＝（m﹣1）（m2+m+a）≥0恒成立．
只需m2+m+a分解出（m﹣1）因式，
m2+m+a＝（m2﹣m）+2（m﹣1）＝（m﹣1）（m+2），
（此时a＝﹣2），且不等式转化为：（m﹣1）2（m+2）≥0，
∵（m﹣1）2≥0，m+2＞0，∴不等式恒成立．即a＝﹣2，不等式恒成立．
（3）证明：函数y＝f（x）﹣x的图象是轴对称图形．
设g（x）＝f（x）﹣x=lg2(4x+a⋅2x+4)−x
=lg2(2x+42x+a)，对于函数y=2x+42x+a，
令m＝2x（m＞0），则y=m+4m+a，
根据对勾函数性质，y=m+4m的图象关于直线m＝2对称，
即2x＝2时，x＝1．对于g(x)=lg2(2x+42x+a)，
∵g（x）=lg2(21−x+421−x+a)=lg2(22−2x+4+a⋅21−x21−x)，
g(1+x)=lg2(21+x+421+x+a)=lg2(22+2x+4+a⋅21+x21+x)，
g(1−x)=lg2(21−x+421−x+a)，
g（1﹣x）﹣g（1+x）=lg2(4+4×22x+a⋅21+x4+4×22x+a⋅21+x)=lg21=0．
故函数g（x）图像关于直线x＝1对称，即函数f（x）﹣x图象是轴对称图形．
【点评】本题考查对数函数图像及性质．属于难题．
18．（2025春•辽宁月考）已知幂函数f(x)=(2m2+3m+1)xm2−m−2(m∈R)为偶函数．
（1）求实数m的值，并写出f（x）的单调区间（不必证明）；
（2）若f（2x﹣1）＞f（x），求x的取值范围．
【考点】由幂函数的单调性求解参数；求幂函数的解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】（1）m＝0，单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞）．
（2）(13，12)∪(12，1)．
【分析】（1）根据函数为幂函数，可求出m的值，结合函数的单调性即可确定m的取值，进而求得函数单调区间．
（2）结合函数的奇偶性以及单调性，将f（2x﹣1）＞f（x）转化为关于x的不等式，即可求得答案．
解：（1）因为f（x）是幂函数，
故2m2+3m+1＝1，解得m＝0或m=−32；
当m＝0时，f（x）＝x﹣2，x≠0，满足f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，
当m=−32时，f(x)=x74，x＞0，函数非奇非偶函数，不符题意；
故m＝0，f（x）＝x﹣2，其单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞）．
（2）由（1）知f（x）＝x﹣2为偶函数，单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞）．
由于f（2x﹣1）＞f（x），故0＜|2x﹣1|＜|x|，
即3x2﹣4x+1＜0且x≠12，x≠0，解得13＜x＜12或12＜x＜1，
即x的取值范围为(13，12)∪(12，1)，
【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于中档题．
19．（2024秋•调兵山市校级期末）已知函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值，并证明：f（x）在R上单调递增；
（2）求不等式f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（3）若g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x）在区间[﹣1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性；奇函数偶函数的性质．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）a＝1，证明见解析；
（2）{x|x＞2或x＜−23}；
（3）m＝2或−2512．
【分析】（1）由奇函数性质得f（0）＝0，解出a；由单调性的定义即可求解；
（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3）g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）可化为关于t的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为﹣2，解出即可．
解：（1）因为f（x）是定义域为R上的奇函数，
所以f（0）＝0，即a•20﹣2﹣0＝0，所以a﹣1＝0，解得a＝1，
所以f（x）＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），
经检验，a＝1符合题意；
所以函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1﹣x2＜0，
f(x2)−f(x1)=2x2−2−x2−2x1+2−x1=(2x2−2x1)(1+12x1+x2)＞0，
所以函数在R上单调递增，
（2）由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x，且在R上单调递增的奇函数，
由f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0，可得f（3x2﹣5x）＞f（4﹣x），
所以3x2﹣5x＞4﹣x，即3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2）＞0，
解得x＞2或x＜−23，
所以不等式的解集为{x|x＞2或x＜−23}；
（3）因为f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x），
所以g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．
令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，因为x≥﹣1，所以t≥f(−1)=−32，
所以g（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，
当m≥−32时，当t＝m时，g(t)min=2−m2=−2，则m＝2（m＝﹣2舍去）；
当m＜−32时，当t=−32时，g(t)min=174+3m=−2，解得m=−2512＜−32，符合要求，
综上可知m＝2或−2512．
【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20．（2024秋•庐阳区校级期末）设f（x）＝lga（1+x）+lga（5﹣x）（a＞0，a≠1），且f（2）＝﹣2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[12，4]上的最值．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的最值；求对数函数的定义域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】（1）a=13，（﹣1，5）；
（2）[﹣2，lg135]．
【分析】（1）由已知先求出a，然后结合对数函数的性质即可求解；
（2）结合二次函数及对数函数的性质即可求解．
解：（1）因为f（2）＝lga3+lga3＝﹣2，
则a=13，
由题意可得1+x＞05−x＞0，解得﹣1＜x＜5，
故函数定义域为（﹣1，5）；
（2）由（1）可得f（x）=lg13[（1+x）（5﹣x）]，﹣1＜x＜5，
令t（x）＝（1+x）（5﹣x）＝﹣x2+4x+5，
根据二次函数的性质可得，当12≤x≤4时，5≤t≤9
故﹣2≤lg13t≤lg135，
故函数的值域为[﹣2，lg135]．
【点评】本题主要考查了对数函数性质及二次函数性质的应用，属于中档题．