2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题03 指数、对数函数、幂函数解析

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专题3 指数、对数函数、幂函数第一部分 真题分类一、单选题1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当00时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b1,所以a-1>0,所以二次函数的抛物线开口向上，抛物线的对称轴为所以选项A是正确的，故选A..5．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出函数的图象如图所示．不妨令，则，则．结合图象可得，故．∴．故选：B．6．已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，，，，则下列判断中错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知函数的图象关于直线对称，故，，故正确；又，故正确；又，故正确；故选：C.二、填空题7．已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为 .【答案】48．已知函数则___________．【答案】1【解析】由题意，，∴．故答案为：1．9．若函数，满足：，均有，成立，则称“与关于分离”.已知函数与（，且）关于分离，则a的取值范围是________.【答案】【解析】函数与的图象关于对称当与相切于上一点时，，即，由可得，代入（1）得所以，两边同时取对数得，即所以，解得此时，即又因为越大，的图象越靠近轴，的图象越靠近轴所以当函数与关于分离时，故答案为：10．已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若 对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．【答案】【解析】设，即∴∴即，由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，即∴，即实数的最大值是故答案为三、解答题11．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若为R上的偶函数，且关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），偶函数；，奇函数；，非奇非偶函数，理由见解析；（2）.【解析】（1）f（﹣x）＝2﹣x+m•2x，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+m•2x＝2x+m•2﹣x， 所以（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝1； 若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+m•2x＝﹣2x﹣m•2﹣x， 所以（m+1）（2x+2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝﹣1． 综上，当m＝1时，f（x）是偶函数；当m＝﹣1时，f（x）是奇函数；当m≠±1时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数． （2）f（x）0，3k2+1＞0，且2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，故原不等式等价于在（﹣∞，0）上恒成立，又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），所以，从而，即有3k2﹣4k+1≤0，因此，．12．已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】(1)设定义域为，因为是奇函数，所以对任意,有， 整理得，故.此时，，为奇函数.(2)若，则，若，则，若，则，设定义域内任意，设，..当时，总有，，得；当时，，得；当时，，，，，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.13．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，是数列的前项和，若，求的最小值.【答案】（I）.（II）的最小值为100.【解析】（I）∵，，成等差数列，∴，又数列是公比为2的等比数列，∴，解得，∴．（II）由（Ⅰ）得，∴．由，得，∴，又，∴的最小值为100.14．已知函数 (1) 求函数的反函数；(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程的三个实数根满足: ，且，求实数的值．【答案】（1）；（2）存在点关于原点对称；（3）.【解析】(1) 当时，.由，得，互换，可得. 当时，. 由，得，互换，可得. (2) 答：函数图象上存在两点关于原点对称.设点是函数图象上关于原点对称的点， 则，即， 解得舍去），且满足 . 因此，函数图象上存在点关于原点对称. (3) 考察函数与函数的图象，可得当时，有，原方程可化为，解得，且由，得.当时，有，原方程可化为，化简得，解得(当时，).于是，. 由，得，解得. 因为，故不符合题意，舍去；，满足条件.因此，所求实数.