查漏补缺04 平面向量（专项训练）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

这是一份查漏补缺04 平面向量（专项训练）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案），文件包含试卷定稿pdf、化学阅卷细则1pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。

考点01 平面向量的概念及线性运算
知识点一：向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二：向量的线性运算
知识点三：共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
【特别注意】
1．零向量与任何向量共线．
2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±eq \f(a,|a|).
3．若存在非零实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))或eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．
4．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
5．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
6．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
7．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
8．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
题型一：平面向量的基本概念
1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0且没有方向D．方向相反的两个向量互为相反向量
【答案】B
【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可.
【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；
选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确；
选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误；
选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.
故选：B.
2．（25-26高三上·甘肃天水·期末）若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（ ）.
A．①④B．③④C．①②③D．②③
【答案】B
【分析】根据向量的定义依次判断即可.
【详解】在①中，的大小不能确定，故①错误，
在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误，
在③中，为任一非零向量，则，故③正确，
在④中，由题意可知，故④正确.
故选：B.
3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（ ）
A．12对B．18对
C．20对D．24对
【答案】D
【分析】根据相等向量的定义，结合矩形的性质进行求解即可.
【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点，
所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示：
由题意得：，则，有3对；，
则，有6对；
，有1对；，有1对；，有1对；
共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对，
综上，相等的非零向量共有24对.
故选：D
4．（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据单位向量及相等向量的定义和 性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系.
【详解】若，则的方向必相同，充分性成立，
若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立，
所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件.
故选：A
5．（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】BD
【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可.
【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确；
B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确；
C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确；
D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确，
故选：BD
6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，与相等的向量为 ，与相反的向量为 ，与共线的向量为 ．

【答案】 ，， ，，， ，，，，
【分析】空1：由相等向量的定义可判断；空2：由相反向量的定义可判断；空2：由共线向量的定义可判断.
【详解】空1：由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，
与相等的向量为，，；
空2：由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，
与相反的向量为，，，；
空3：由共线向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为共线向量，
与共线的向量为，，，，.
题型二：向量的线性运算
1．（2026高三上·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．

【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，由向量的三角形法则，得
．
故答案为：
2．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：C.
3．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（ ）
A．向东北方向走B．向西北方向走
C．向东北方向走D．向西北方向走
【答案】A
【分析】作，，以、为邻边作平行四边形，则，求出以及的值，结合向量的几何意义可得结论.
【详解】作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示：
由题意可知，，故平行四边形为正方形，
所以，且，且，
故表示向东北方向走，
故选：A.
4．（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可.
【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，
所以．
故选：D.
5．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用向量加法的平行四边形法则即可求解.
【详解】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.

故选：D.
6．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断.
【详解】因为四边形是平行四边形，所以，
又因为为的中点，所以，
在平行四边形中，，
.
故选：A.
题型三：根据向量的线性运算求参数
1．（25-26高三上·江西南昌·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】以向量为一组基底，利用向量的加法和数乘运算表示出即可.
【详解】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底，
所以，则.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则 ．
【答案】3
【分析】设，则，结合，可求.
【详解】如图所示，在中，由已知，所以，
又点在线段上移动，设，所以，
又，所以，所以，
故答案为：3．
3．（2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（ ）
A．B．，4C．4，3D．3，4
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算求解.
【详解】如图，
，
，则.
故选：B.
4．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解.
【详解】
，
又因为，所以，
设，则，
所以，解得，
故选：B.
题型四：共线定理及其应用
1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理计算即可.
【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得，
即，又与是不共线向量，
所以解得.
故选：B．
2．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】B
【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解.
【详解】因为向量，共线，
所以，解得或，
当时，向量与方向相反，不满足，
当时，向量与方向相同，满足，
故.
故选：B
3．（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果.
【详解】三点共线，可设，
即，
，解得：.
故选：.
4．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可.
【详解】A：，因为，且平面向量不共线，
所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线；
B：，因为，所以本选项三点共线；
C：，因为，且平面向量不共线，
所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线；
D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线，
显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线，
故选：B
5．（2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线．
【答案】证明过程见解析
【分析】运用平面向量共线定理进行证明即可.
【详解】因为，，
所以，
因此A，B，C三点共线.
考点02 平面向量基本定理及坐标表示
知识点一：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
知识点二：平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
知识点三：平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
2.向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识点四：平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
知识点五：中点及重心的坐标
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
知识点六：线段的定比分点
设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比。有三种情况：

(内分) (外分)() (外分) ()
（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，
则点坐标为，我们称为点分所成的比。
（2）点的位置与的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点。
（3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；
特别地为的中点.
知识点七：重要推论
设O是平面内的任意一点，点 A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数使得
OC  OA (1 )OB .
题型一：平面向量基本定理的应用
1．（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可.
【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线.
对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误；
对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误；
对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确；
对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.
与不共线，所以能作为基底，所以D错误.
故选：C.
2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质,结合向量加法的平行四边形法则来求解即可.
【详解】因为,，,
所以
则.
故选：D.
3．（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（ ）
A．0B．1C．D．3
【答案】B
【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果.
【详解】如下图所示，延长交于点，
易知为的中点，且
又，
因为，且不共线，所以可知；
因此.
故选：B
题型二：平面向量的坐标运算
1．（2026高三上·江西南昌·周测）向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果.
【详解】因为向量，，则.
故选：A.
2．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标表示代入即可.
【详解】因为，，，所以，
，解得，所以.
故选：A
3．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【分析】由题得到是直线的一个方向向量，也是直线的方向向量，所以向量与共线，利用向量共线坐标成比例列方程可求出的值.
【详解】已知，，所以是直线的一个方向向量；
因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线，
所以，解得，
故选：A.
4．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量关系得到点坐标，代入椭圆方程化简求解即可.
【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设.
由得，
所以，，即.
代入椭圆方程得，整理得，即.
又，所以.
故选：C.
题型三：利用向量共线求参数
1．（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（ ）
A． B．1C．2D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解.
【详解】，，
由与共线，可得，
解得，
故选：A
2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知，，，，若与共线，则（ ）
A．1B．2C．或2D．或1
【答案】D
【分析】首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，，，
所以，，
又与共线，故，解得或．
故选：D
3．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为向量，，，
所以，，
因为与共线，
所以，解得．
故答案为：
题型四：利用向量共线求向量或点的坐标
1．（25-26高三下·内蒙古包头·期中）已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】由题意得，则，
,
所以的坐标为．
故选:B.
2．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可.
【详解】向量，，，可得：,
则,
因为点，则P点坐标为
故选：A
3．（2026·湖南永州·一模）设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标.
【详解】设，
若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.
因为，
所以.
又，所以.
所以.
即，解得.
所以.
故选：B.
考点03 平面向量的数量积
知识点一：向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
知识点二：平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
知识点三：平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
知识点四：向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
知识点五：平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
知识点六：平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
知识点七：有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b