2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题06数列(选填题)(培优题型专练)(学生版+解析)

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题型01 抽象函数问题
【例1-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．670B．675C．2025D．4050
1.累加法、累乘法
①累加法：适用于，求
具体过程：两边分别相加得；
②累乘法：适用于，求
具体过程： ，两边分别相乘得.
2.同除法及取倒数法
①形如整式，两边同时除以
②形如,则有.
所以是以为首项,为公差的等差数列,即.
3.已知或
①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.
②若等式中为与或与，则替换题目中的
4.构造法
①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
【变式1-1】（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则
【变式1-2】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
题型02 数列求和问题
【例2-1】（2025·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（ ）
A．149B．153C．155D．157
【例2-2】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
1.公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．
等差：. 等比：.
2.分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．
3.并项求和法
若在一个数列的前项和中，可两两结合求和，则称之为并项求和.
4.错位相减法：
数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．
5.裂项相消法：
将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．
常用的裂项公式：
= 1 \* GB3 ①；②；
③；④.
6.倒序相加法：如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式就是用此法推导的.
【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ．
【变式2-2】（2025·青海·模拟预测）（多选题）设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024B．4048C．3036D．2025
题型03数列不等式问题
【例3-1】（2025·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【例3-2】（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
数列与不等式的综合问题及求解策略
1.判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
2.以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
3.考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．
【变式3-1】（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个B．3个C．1个D．无数个
题型04 奇偶和插项数列问题
【例4-1】（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 .
【例4-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．35B．36C．37D．38
1.奇偶数列求和：
已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为.
(2)若为偶数，则
(3)若为奇数，则
2.常见奇偶数列模型
，则直接按奇偶分开讨论.
3.数列插项问题
= 1 \* GB3 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为，则，整理的.
= 2 \* GB3 ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为，则，整理的.
【变式4-1】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知数列满足，则 ；其通项公式为 ．
【变式4-2】（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列满足（），，.在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求 .
【变式4-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ．
题型05 新定义问题
【例5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）

A．，
B．记为的前n项和，则为
C．记为数列的前n项和，则
D．数列的前n项和为
【例5-2】（2025·江苏南通·三模）（多选题）已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列具有性质
B．若数列的前项和，则数列具有性质
C．若数列具有性质，则常数
D．若数列具有性质，则为等差数列
解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
【变式5-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分解为连续奇数组，规律如下：
．．．
记表示第个等式中第个量子态能量值（如），研究人员发现满足：第行恰含有个连续奇数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）（多选题）若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是受限数列
B．若等差数列满足，，则是受限数列
C．若，则是受限数列，其受限上界为3
D．若，都是受限数列，则也是受限数列
【变式5-3】（2025·北京海淀·三模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ．
①存在递增数列，使得它是“超神数列”；
②存在周期数列，使得它是“超神数列”；
③存在等差数列，使得它是“超神数列”；
④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列．
1.（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024B．2025C．D．
2.（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4B．9C．10D．12
3.（2025·重庆·三模）数列满足，则的前100项和 ．
4.（2025·湖南益阳·三模）已知数列满足，给出定义：使数列的前k项和为正整数的k（）叫做好数，则在内的所有“好数”的和为 ．
5.（2025·云南·模拟预测）数列满足：，且，则 .
6.（2025·浙江·模拟预测）已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ；
7.（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知数列满足，则（ ）
A．
B．
C．若，则的最大值为1214
D．的前36项和为1226
8.（25-26高三上·湖北·期中）（多选题）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ）
A．B．C．D．
9.（25-26高三上·山西·月考）（多选题）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（ ）
A．
B．
C．存在常数，使得数列为等比数列
D．数列的前项和
10.（2025·甘肃平凉·模拟预测）（多选题）如果存在正整数，使得对任意的正整数，均有，那么称数列为“阶弱增数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若数列的前项和为，则数列不是“2阶弱增数列”
B．若数列满足，则数列是“阶弱增数列”
C．若数列是“阶弱增数列”且，则的最小值为4
D．已知，若存在且，使得数列是“2阶弱增数列”，则