2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题3.2三角函数恒等变换及求值求角(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题3.2三角函数恒等变换及求值求角(培优热点专练)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了化简求值，已知，求和等内容，欢迎下载使用。

给角求值（特殊角求值）
1．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·月考）下列各式结果为1的有（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·广西·月考）计算（ ）
A．B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）（ ）
A．B．C．D．2
4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（ ）
A．16B．32C．D．
4．（多选）（25-26高一上·湖南张家界·期末）下列表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
给角求值（两角和差正切公式的应用）
1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简求值：
2．（2025高三·全国·专题练习） ．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（ ）
A．B．1C．D．
4．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（ ）
A．0B．C．2D．
5．（2025高三·全国·专题练习）化简求值：
(1)；
(2)．
给值求值（两角和差公式拆角、拼角）
1．（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·甘肃·一模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广西·模拟预测）已知，则 （ ）
A．B．5C．D．
4．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（ ）
A．B．C．D．1
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
给值求值（利用正余弦乘积求两角和差正余弦）
1．（多选）（2025·黑龙江·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·陕西渭南·三模）已知，则 .
3．（25-26高三上·山东临沂·期中）若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·湖南·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
给值求值（两角和差公式的逆用）
1．（2025·浙江金华·二模）已知，则 .
2．（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则 ．
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南·三模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则 ．
给值求值（弦化切）
1．（2025·河南·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·重庆·模拟预测）若 ，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．或-1D．1或
5．（25-26高三上·山西大同·期中）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
给值求值（利用平方）
1．（2025·江西·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知，，则 ， .
3．（2025·陕西·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山东青岛·三模）若，，则 ．
给值求值（二倍角公式、半角公式、降幂公式应用）
1．（2026·四川广安·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知，为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．2
3．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江西景德镇·模拟预测）若,则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
给值求角
1．（2025·江西宜春·二模）若，，则 .
2．（2025·河南·一模）已知，则角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·新疆·二模）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 .
5．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知且，，则（ ）
A．B．C．D．
万能公式、辅助角公式
1．（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（ ）
A．3，B．3，C．， D．，
2．（内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知函数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最值．
5．（2025高三·全国·专题练习）化简．
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高三上·广东·期中）计算的值为 .
2．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·全国·二模）已知，则 ．
4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，若，则 .
5．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（ ）
A．-1B．C．D．
7．（24-25高三下·重庆·月考）设是方程的两根，且，则（ ）
A．B．C．或D．
8．（多选）（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知，为锐角，，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2026高一上·重庆·专题练习）已知，且，则的最大值为 ．
10．（2025高三·全国·专题练习）已知，求和．
近三年：
三角恒等变换及求值求角是近3年高考的命题热点与难点，常作为选择题、填空题的重点题型出现，难度覆盖中档及以上，也是部分解答题的考查起点。 其本质是考查学生对三角函数公式体系的理解深度和灵活运用能力，核心在于通过公式的转化与变形，建立已知与未知之间的“桥梁”。从近三年高考命题来看，对恒等变换的考查已从单纯的公式套用，转向对公式内在联系、变形技巧以及综合应用能力的考察。 命题常通过以下形式呈现：
给值求值型：这是最基础、最高频的考法。提供某一个或几个三角函数值，要求利用诱导公式、同角关系、两角和差公式、二倍角公式等进行链式求值。题目常涉及“角的变换”（如拆角、拼角：α = (α+β) - β等）和“名的变换”（如弦切互化）。
给值求角型：难度通常高于给值求值。给出三角函数值，要求确定对应角的大小。其难点在于必须首先确定所求角的取值范围，然后选择合适的三角函数进行求值，并注意结合函数单调性判断角的唯一性。
综合化简与求值型：题目可能以一个复杂的三角表达式呈现，要求先通过恒等变换（如降幂、辅助角公式、和差化积/积化和差等）进行化简，再求值或研究性质。辅助角公式（化一法）是此类问题的核心工具。
创新交汇型：恒等变换的知识越来越多地作为工具，与解三角形、平面向量、函数性质乃至实际应用问题紧密结合，成为解决综合问题的关键步骤
预测2026年：
三角恒等变换及求值求角问题将继续是高考数学的稳定考点和重要能力检验点。命题将更加注重思维的过程性、技巧的灵活性与知识的交汇性。 其考查可能更加侧重于：
公式的深度理解与逆用、变形用：单纯正用公式的题目减少，更多地考查公式的逆用和变形，如降幂公式、asinx+bcsx的辅助角合一变形等。对 “1”的巧妙代换（1=sin²α+cs²α=tan45°）等技巧要求更高。
复杂情境下的“变角”与“变名”艺术：“角的变换”将成为解题的核心枢纽。题目可能通过设置非特殊角、复合角关系，要求学生敏锐地发现诸如α=(α+β)−β， 2α=(α+β)+(α−β)，α+β2=α−β2+β等角之间的关系，进行拆解与组合。
与模块知识的深度融合：与解三角形的结合：在解三角形大题中，利用恒等变换化简关于角的复杂等式，进而判断三角形形状或求角，是经典且热门的考向。
与函数、方程、不等式的结合：将三角表达式化简为单一三角函数后，利用其有界性、单调性求范围与最值的问题，或含参数的三角方程问题，综合度会提升。
探索对非课标要求公式的理解应用：虽然“积化和差、和差化积、半角公式”等不要求记忆，但高考题中可能会在题目中给出或暗示这些公式，考查学生的即时学习与应用能力。复习中必须理解其推导过程。
解｜题｜策｜略
1、先观察角的关系:寻找互补、互余、和差为特殊角的组合,注意角的倍数关系（二倍、半角等）
2、化简方向:统一角 → 统一函数 → 化简求值,或直接应用恒等变换消去非特殊角
3、常用方法：
诱导公式法化为锐角三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限
和差化积/积化和差出现三角函数乘积时考虑目标：产生特殊角或相消项
倍角/半角公式出现角的倍数关系时使用
辅助角公式化为单一三角函数求最值/零点
代数变形技巧通分、分解因式、配方
解｜题｜策｜略
对于两角和差的正切公式的应用：
tanα+β= tanα+tanβ1−tanαtanβ
对于两角和差的正切公式的逆用:
tanα+tanβ+tanα+βtanαtanβ=tan⁡(α+β)
解｜题｜策｜略
两角和与差的正余弦与正切
①sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ；
②cs(α±β)=csαcsβ∓sinαsinβ；
③tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ；
在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。
注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。常见的一些拆角：2α=(α+β)+(α−β);α=(α+β)−β=α+β2+α−β2
在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。
注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。
解｜题｜策｜略
1、对sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ而言，可以把sinαcsβ，csαsinβ看着两个整体，通过直接求这两个值来求sin(α±β)。通常条件中出现sin(α+β)、sinα−β、tanαtanβ三者关系时。
2、对cs(α±β)=csαcsβ∓sinαsinβ而言，可以把csαcsβ，sinαsinβ看着两个整体，通过直接求这两个值来求cs(α±β)。通常条件中出现cs(α+β)、csα−β、tanα∙tanβ三者关系时。
解｜题｜策｜略
①sinαcsβ±csαsinβ=sin(α±β)；
②csαcsβ∓sinαsinβ=cs(α±β)；
通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。
解｜题｜策｜略
1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除csα或除cs2α来构造tanα
2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = cs2α+sin2α”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除cs2α，从而得到tan2α
解｜题｜策｜略
1、对sina±csα2=cs2α+sin2α+2sinαcsα=1+2sinαcsα
通过该关系式可以对sina±csα与sinαcsα进行互化。
2、遇到asinα+bcsβ与acsα−bsinβ式子时，可以考虑平方相加。
3、遇到asinα+bcsα时，可以考虑构造对偶式acsα−bsinα,平方相加后求值。
解｜题｜策｜略
二倍角公式
①sin2α=2sinαcsα；
②cs2α=cs2α−sin2α=2cs2α−1=1−2sin2α；
③tan2α=2tanα1−tan2α；
降幂公式
sin2α=1−cs2α2 ； cs2α=1+cs2α2 ；
在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。
半角公式
①sinα=2sinα2csα2；
②csα=cs2α2−sin2α2=2cs2α2−1=1−2sin2α2；
③tanα=2tanα21−tan2α2；
解｜题｜策｜略
在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。
解｜题｜策｜略
万能公式
tanα2=sinα1+csα=1−csαsinα
sinα= 2tanα21+tan2α2 csα= 1−tan2α21+tan2α2
辅助角公式
asinα+bcsα=a2+b2sin(α+ϕ)（其中sinϕ=ba2+b2 ， csϕ=aa2+b2 ， tanϕ=ba）．
通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。