2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题3.1三角函数图像及性质综合(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题3.1三角函数图像及性质综合(培优热点专练)(学生版+解析)，共12页。

三角函数的单调性
1．（2025·广东广州·模拟预测）把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
3．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·湖北荆州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
三角函数的最值与值域
1、（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，，且，则当时，的值域为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，为的最大值，，当时，则 .
4．（2025·广东·模拟预测）函数的值域为 .
5．（多选）（2025·广东·模拟预测）设函数，若时，，则（ ）
A．B．的定义域为
C．是偶函数D．的值域为
三角函数的奇偶性
1．（2026·陕西西安·三模）若函数是奇函数，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（ ）
A．B．C．0或D．
3．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·广东深圳·一模）若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）.
5．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5B．4C．D．1
三角函数的周期性
1．（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 .
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为 .
3．（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是的为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·广东·模拟预测）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是 .
三角函数的对称性
1．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖北·模拟预测）若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ）
A．1B．
C．D．
3．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广西·模拟预测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A．B．C．D．
三角函数的零点
1．（多选）（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ）
A．是的一个周期B．的最大值为1
C．的取值范围是D．有两个极大值点
2．（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数，有两个零点，则下列结论正确的是（）
A．当时，B．
C．若，则D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为 ．
4．（2025·广东广州·模拟预测）当时，函数的零点个数为 ，所有零点之和为 .
5．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
三角函数的性质综合
1．（2025·四川成都·一模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象
2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递增
D．的图象关于点中心对称
3．（2026·四川宜宾·一模）已知，下面结论正确的是（）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．在上恰有3个零点
D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
4．（2026·四川广安·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
5．（2026·湖北荆门·模拟预测）关于函数，，以下结论正确的是（ ）
A．有8个零点
B．的最大值为1
C．是轴对称图形
D．函数，则的零点的个数可能为0，1，2，4，6
三角函数绝对值的性质
1．（2025·湖南·一模）下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（多选）（2024·安徽安庆·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为
D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则
2．（多选）（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为的周期B．的图象关于对称
C．的图象关于点对称D．是奇函数
3．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（ ）
A．是偶函数B．最大值为
C．最小值为D．在有两个零点
4．（多选）（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象为中心对称图形
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的值域为
5．（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）对于函数和，下列正确的有（ ）
A．与有相同零点
B．与有相同最大值
C．与有相同的最小正周期
D．与的图象有相同的对称轴
三角函数的图像变换
1．（2025·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
3．（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．（2026·重庆九龙坡·一模）将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
5．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
根据三角函数图像求解析式及其性质
1．（多选）（2025·浙江·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数在上恰有5个零点，则实数的取值范围为
2．（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的最小值为
C．当取最小值时，的最大值为
D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为
3．（多选）（2025·广东江门·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上单调递增
D．当在上恰有3个零点时，的取值范围是
4．（多选）（2025·福建厦门·二模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．函数在上有5个零点，则的取值范围为
5．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知函数，若函数与其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象在关于点中心对称
C．的最大值为
D．当时，函数有4个零点
（建议用时：30分钟）
1．（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川·三模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·新疆·月考）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．和3B．和2C．和3D．和2
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·云南大理·模拟预测）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上有两个不同的零点，，则 ．
8．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心是
C．当时，的值域为
D．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
9．（2026·重庆·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．的最小正周期为
D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
10．（2025·云南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
11．（2026·河北沧州·一模）已知函数，满足，且对任意，都有，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上的值域为
C．的单调递增区间为
D．若方程在区间上恰有五个不等的实根，则的取值范围为
12．（2025·广东广州·三模）已知函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．的值域是
C．的最小正周期为D．不是中心对称函数
13．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数图像如图所示，分别为图像的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为．则下列说法正确的有（ ）．
A．函数的解析式为
B．函数的一个极大值点为
C．函数的对称中心为
D．函数在区间上单调递增
近三年：
图像变换与识别:高频核心考点，几乎每年必考。主要考查函数图像的平移、伸缩、对称变换，以及根据图像求解析式。难度中等，常以选择题或填空题形式出现，是必须掌握的基础。
性质的综合应用:高频核心考点，每年必考。重点考查周期性、单调性、对称性、最值的综合分析与计算。常作为小题的压轴或次压轴题，或出现在解答题的第一问，难度中等偏上。
“五点法”与模型应用:考查频率稳定，多出现在对三角函数基础模型的直接考查中，如用“五点法”作图、分析基本函数性质。难度中等，是解决复杂问题的基础。
与向量、实际应用结合:较少单独考查，但作为命题背景在模拟题和高考试题中时有出现。常将三角函数与平面向量、解三角形、或物理、几何等实际情境结合，考查知识迁移能力，难度较高。
预测2026年：
1、模型化与图像化考查：题目可能直接给出一个具体或含参的三角函数解析式，要求系统分析其图像特征（如变换顺序）和所有性质（周期、单调区间、对称轴等）。
2、动态参数与综合范围：重点考查参数 ω 对函数性质的动态影响，尤其是求 ω 的取值范围。这类题常与函数的单调性、对称性或零点条件结合，需要运用数形结合和不等式知识，体现综合难度。
3、跨模块融合与情境创新：
融合性：加强与平面向量、解三角形、导数等知识的交叉命题。
情境化：出现在圆周运动、简谐振动、几何图形变化等实际情境中，要求先抽象出三角函数模型，再进行求解。
总的来说，三角函数的复习要从单纯记忆公式和题型，转向理解图像与单位圆的本质关联，并加强在复杂情境中构建模型和跨模块思考的能力
解｜题｜策｜略
1、掌握正余弦、正切函数的单调区间
正弦函数：单调增区间[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，单调减区间[π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z)
余弦函数：单调增区间[−π+2kπ,2kπ](k∈Z)，单调减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)(k∈Z)
正切函数：单调增区间(−π2+kπ,π2+kπ)(k∈Z)
2、对于形如 y = Asin(ωx + φ) + k（或 y = Acs(ωx + φ) + k）的函数，首先确定A与ω的正负。若 ω < 0，可利用诱导公式将 ω 化为正数，简化分析。
通过单调性确定ωx + φ的范围，求得x的范围为所求的单调区间。
3、根据题目给出的单调区间来求参数（不含求ω值的题型）：
先根据条件给出的单调区间来求ωx + φ的区间范围
确定目标三角函数的对应的单调区间
讨论ωx + φ的区间与三角函数的单调区间之间的关系，从而确定参数关系。
解｜题｜策｜略
1、y=asinx+bcsx 型，同角正弦余弦的和式，可以直接用辅助角公式合并化简。若遇到三角函数不为同角，则可以考虑通过诱导公式、三角恒等变换去化简，最后化简成正弦或余弦的式子。
2、通过化简后发现式子变成y=Asin2x+Bsinx+c(sinx换成csx,tanx都成立）的形式，则可以通过换元，换元后式子变成二次函数式。换元后，要注意新元的取值范围，在该取值范围下求最值。
3、对三角函数进行变换，然后通过基本不等式来求最值
利用1的变换，在三角函数中，sin2α+cs2α=1,利用乘“1”来实现基本不等式。
已知和或者积的值，通过基本不等式中和定求积，积定求和来求。
注意基本不等式使用是有条件限制的，如果不满足可以考虑用对勾函数。
解｜题｜策｜略
按照函数奇偶性的定义来判断三角函数有关的复合函数的奇偶性：
先判断定义域是否关于原点对称，然后检验f(x)与f(-x)之间的关系。
对较复杂的三角函数式，通常先利用三角恒等变换（如诱导公式、和差角公式、倍角公式等）将函数式化简为标准形式或便于判断的形式。
若函数是多个三角函数的和、差、积、商形式：可利用“奇函数 ± 奇函数 = 奇函数”、“偶函数 ± 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 偶函数 = 奇函数”、“偶函数 × 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 奇函数 = 偶函数”等运算规律进行组合判断。
利用函数的奇偶性来求值：根据奇偶性的定义，根据定义域关于原点对称，然后利用偶函数满足f(x)=f(-x)，奇函数满足f(x)+f(-x)=0关系直接求值
解｜题｜策｜略
1、对于y = A·f(ωx + φ) + k形式（f为基本三角函数如 sin, cs,tan），最小正周期T=T0ω，其中T₀为f(x)的最小正周期（如sin、cs为2π，tan 为π）。
2、利用三角变换化简题目中的三角函数，使变为最简形式，然后根据上面方法求周期
3、根据三角函数的最小正周期可求w的值，从而可以得到函数的解析式
解｜题｜策｜略
1、对于正弦函数y=Asin(wx+ϕ)，当wx0+ϕ=kπ+π2 (k∈Z)，x=x0 为正弦函数的对称轴,当wx0+ϕ=kπ(k∈Z)，x=x0 为正弦函数的对称中心
2、对于y=Acs(wx+ϕ)，当wx0+ϕ=kπ (k∈Z)，x=x0 为余弦函数的对称轴,当wx0+ϕ=kπ+π2 (k∈Z)，x=x0 为余弦函数的对称中心
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
3、对于y=Atan(wx+ϕ), 当wx0+ϕ=kπ2 (k∈Z)，x=x0 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与x轴交点
4、对正余弦函数，已知一条对称轴a和一个对称中心b，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b−a．
5、根据题目给出的对称中心或对称轴的值，来求wx+ϕ的值，如果含参的话，这是一个参数的表达式。
根据wx+ϕ的值与三角函数的对称中心或对称轴进行比较，来求其中的参数值。
解｜题｜策｜略
1、对于正弦函数y=Asin(wx+ϕ)，当wx0+ϕ=kπ(k∈Z)，x=x0 为正弦函数的对称中心，也是其零点。对于y=Acs(wx+ϕ)，当wx0+ϕ=kπ+π2 (k∈Z)，x=x0 为余弦函数的对称中心，也是其零点。对于y=Atan(wx+ϕ), 当wx0+ϕ=kπ2 (k∈Z)，x=x0 为正切函数的对称中心，但是wx0+ϕ=kπ k∈Z才是其零点。
2、复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。函数y=fx有零点⟺方程fx=0有实数根⇔函数y=fx的图像与x轴有交点。
若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。
若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。
3、给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。若函数是动函数（ω已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。
4、根据三角函数Asin(ωx+φ)或Acs(ωx+φ)在区间(a,b)内零点的个数问题求ω：
根据有没有零点或零点个数，判断b−a在几个周期以内。
根据零点个数确定ωa+φ与ωb+φ的范围
根据上述两点可以计算出ω的取值范围，ω的范围会跟k值有关，再根据k是整数，可以确定ω的最值
5、对给定范围内的两个相邻的零点x1,x2（通常为三角函数图像与y=m直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即fx1+x22=±1，再根据三角恒等变换可以求x1−x2的正余弦值。对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与y=m直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。
解｜题｜策｜略
根据题目给出的函数，看能不能用三角恒等变换、诱导公式进行化简，先化简到最简形式
2、如果化简后的函数是y = A·f(ωx + φ) + k的形式（f为sin,cs,tan），则可以按三角函数求单调性、周期性、对称性、奇偶性的方法来判断。
如果化简后是几个三角函数相加或相乘，比较复杂的方式，可以使用代入特殊值法来判断。可可以辅组作图。
解｜题｜策｜略
1、对三角函数绝对值sinx,csx,tanx,通过函数图像来研究其函数性质，把x轴下方部分沿x轴翻折到上方去。
sinx：偶函数、对称轴π2+kπ,对称中心kπ，最小正周期π
csx：偶函数、对称轴kπ,对称中心π2+kπ，最小正周期π
tanx：偶函数、对称轴kπ，最小正周期π
2、对sinx, csx,tanx, 通过函数图像来研究其函数性质,把y轴左边部分去掉，把右边部分复制翻折到y轴左边。
sinx：偶函数、不是周期函数
csx：与csx一致
tanx：偶函数、不是周期函数
解｜题｜策｜略
1、三角函数的变换与函数的变换方法一致
左右移动：变量x左加右减，如y=Asin(wx+φ)左移k个单位，y=Asin(w(x+k)+φ)
上下移动：函数值y上加下减，如y=Asin(wx+φ)上移k个单位，y=Asinwx+φ+k
横坐标的伸缩：横坐标放大k倍，则x变xk，横坐标缩小k倍，则x变kx
注意：上下移动或横坐标的伸缩都是针对变量x的变换
2、根据变换后的图像求原解析式跟整个变换过程，是整个变换过程的逆过程。
用变化后得到的解析式，按照所有的变换步骤从最后一步到第一步进行。
将每步的变换步骤变成逆变换，如左移变右移，上移变下移，扩大变缩小。
用检验的方式再从原图像按照原变换步骤，看看是否能得到变换后解析式。
在变换的过程中分先平移后伸缩和先伸缩后平移两种。
解｜题｜策｜略
根据给出的三角函数图像，从图像上寻找跟周期有关的信息，根据周期求ω。如是否有最值得跟零点，是否有y值相等的点，从这些信息可以求出周期。
对图像上给出横纵坐标的点，用这些点的信息可以求出φ
从图像的最值计算出A值
根据解析式以及图像可以求函数的单调性、对称性、奇偶性、最值等。
注意：在图像求解析式的时候，关于零点的使用，在图像中零点也是有区别的。有的零点连接函数从正道负的，有的零点连接函数从负到正，在使用零点求值的时候要区分这点。