2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第五章平面向量与复数(高效培优综合训练)(全国通用)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第五章平面向量与复数(高效培优综合训练)(全国通用)(原卷版+解析)，共7页。试卷主要包含了设，均为模是1的复数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若与平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．2C．D．
4．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
6．，，命题，命题与夹角为钝角，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（ ）
A．B．1C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，均为模是1的复数，则（ ）
A．B．
C．D．的最大值为5
10．已知非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若则
C．若，则D．向量与向量垂直
11．已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
13．已知，，且，则 ．
14．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
16．（15分）
已知平面向量，且与的夹角等于与的夹角.
(1)求的值；
(2)设，且，若在方向上的投影向量为，求的值.
17．（15分）
如图，扇形的面积为，且.
(1)求.
(2)若，且，求，的值.
(3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由.
18．（17分）
如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
19．（17分）
定义向量，.
(1)求；
(2)若与共线，求；
(3)证明：当且仅当时，对任意恒成立.
第五章 平面向量与复数（高效培优综合训练）（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方、乘法运算求出，进而求出其共轭复数.
【详解】，则，
所以.
故选：A
2．已知向量，，若与平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标关系即可求解.
【详解】，，
根据与平行，可得，解得.
故选：A
3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】求得未知向量的坐标，根据投影向量的计算公式，可得答案.
【详解】由，则，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：D.
4．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设向量与向量的夹角为，根据投影向量的定义求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】设向量与向量的夹角为，因为，
所以向量在向量上的投影向量为，则，
所以
.
故选：D.
5．在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可.
【详解】因为在平行四边形中，，所以，
因为是的中点，所以，即，，
根据向量的加法法则，，
故选：B.
6．，，命题，命题与夹角为钝角，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设两向量的夹角为，根据计算出的取值范围即可求解.
【详解】设、夹角为，，
若，则有，则，
则有，所以与夹角为钝角或平角，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
7．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得，，，
半圆弧的方程为：，
设，则，，，
由得：，
解得：，
所以，
因为在上，所以，
又，
则可设，，，
将，代入整理得：
由得，
所以，，
故的取值范围是.
故选：D.
8．如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】过点作，用表示线段长，结合给定图形借助向量加法、数量积的运算律及定义计算即得.
【详解】过点作于，令，由，得，
，由分别为的中点，得，，
所以.
故选：B
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，均为模是1的复数，则（ ）
A．B．
C．D．的最大值为5
【答案】BC
【分析】根据题设，复数和均为模是1的复数，意味着它们在复平面上表示的点位于单位圆上，利用这一性质，可以对各选项进行分析，从而找出正确的选项．
【详解】对于A，设，，则，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，设，，
则，
所以，，
，所以，故C正确；
对于D，的几何意义为复平面内以为圆心的单位圆上的点到的距离，
因为圆心到点的距离为5，则最大值为6，故D错误．
故选：BC．
10．已知非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若则
C．若，则D．向量与向量垂直
【答案】ABD
【分析】对A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断；对B，根据条件，利用数量积的运算律及模的定义，即可判断；对C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可判断；对D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解.
【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确；
对于B，若，
则，故，故В正确；
对于C，若，则，
得到，不能确定，故C错误；
对于D，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．已知向量，，满足，，，，则（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】BC
【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设，，，通过，可求出是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量.根据向量模长的坐标运算可判断项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断项，根据圆内一点到圆上一点距离的范围为可判断，项.
【详解】根据题意不妨设，，，
则， ，所以，
化简得，记为圆，即是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量.
对于，，所以，故错误；
对于，表示原点到圆上一点的距离，
因为原点在圆上，所以的最大值为圆的直径，即，故正确；
对于，，表示点到圆上一点的距离，
因为点在圆内，所以的最小值为,
的最大值为，故正确，错误.
故选：.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于，
故点位于第四象限，因此，解得，
即的取值范围是.
故答案为：.
13．已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】通过向量垂直的条件得出等式，再利用向量模长和数量积的关系求解即可.
【详解】由题意得，，即，
又、，，即，
解得．
故答案为：.
14．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 .
【答案】
【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可.
【详解】
如图，延长交于点，过点作于点，作于点.
因点，分别是知的重心和外心，则，,
则，则

，
即得，
又由和，可得，
整理得，解得，
因，
则，
即边的长为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)，
【分析】（1）由为纯虚数，求得，再由，且在复平面内对应点在第一象限，可求得结果，
（2）将分别代入计算化简即可，
（3）法一：将代入化简，再利用复数相等的条件可求得实数m，n的值，法二：由题意可得和为方程的根，然后利用根与系数的关系可求得结果.
【详解】（1）因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，
又，所以，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以，故.
（2）由（1）可知
当时，，
当时，.
（3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以把，代入得，
化简得，
即，解得：，
法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以此方程的另一根为：，则，
解得：，
16．（15分）
已知平面向量，且与的夹角等于与的夹角.
(1)求的值；
(2)设，且，若在方向上的投影向量为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量加法坐标运算和两向量的夹角坐标公式计算参数的值；
（2）先根据向量加法和数量积坐标运算得，再根据投影向量的坐标运算计算参数值；
【详解】（1）∵向量，
又∵与的夹角等于与的夹角，
∴，∴，
∴＝，解得
（2）根据(1)知，，
因为，得，解得，则，
，在方向上的投影向量为，
所以，则，解得.
17．（15分）
如图，扇形的面积为，且.
(1)求.
(2)若，且，求，的值.
(3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由.
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，，理由见解析；
【分析】（1）利用扇形的面积公式即可；
（2）利用向量的线性运算将化简为，即可列方程组求解；
（3）以为原点建系，设，再通过关系式得出与的关系式，利用即可求得的值，再结合的范围即可.
【详解】（1）由题意可得，，则.
（2）因，则，则，
因，则，
解得，.
（3）设存在，
以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，
则由，可得，即
则，
即，得或，
因，则，则，则，
故存在，使得.
18．（17分）
如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，通过对比系数得到关于和的方程组，最后消去参数得出的值.
（2）先根据三角形面积关系得出与的关系，再联立已知等式求解和的值，进而求出线段长度，然后利用余弦定理求出和，最后通过向量运算求出的值.
【详解】（1）因为三点共线，
所以存在使得，
又，
因为不共线，所以
两式消去得.
（2）由得，所以，
由（1）得，联立解得.
所以，
在中，由余弦定理得，
所以在中，由余弦定理得，
因为为边的中点，所以，
所以.
又，
所以
.
19．（17分）
定义向量，.
(1)求；
(2)若与共线，求；
(3)证明：当且仅当时，对任意恒成立.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）按题目所给定义带入相应值求解；
（2）根据两共线向量的坐标关系列出等式，再利用同角三角函数商的关系、二倍角的正切公式进行计算即可.
（3）按题目所给定义将不等式化简为证明，当时，不等式对成立，当时方法一与方法二均为取特值说明不等式不恒成立.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为与共线，所以，
因为，所以，，所以，
所以.
（3）因为，
，
要证，只要证.
方法1：①当时，对成立，
②当时，取，，解得，
取，，所以，，即，，
又因为，，所以不存在使原不等式成立.
综上所述，当且仅当时，.
方法2：令，，则，
①当时，成立，
②当时，取，，，而，
所以.
③当时，取，，，而，
所以.
④当时，取，，，而，所以.
综上所述，当且仅当时，.