2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 001-第一节 平面向量的概念及线性运算（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 001-第一节 平面向量的概念及线性运算（教用），共30页。
课标要求
1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.掌握平面向量的加、减运算及运算规则，并理解其几何意义.
4.掌握平面向量的数乘运算及运算规则，并理解其几何意义及向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
回归教材 强基础
1．平面向量的有关概念
【答案】任意； 1个单位长度； 相同或相反
点拨（1）向量由方向和长度确定，不受位置影响.
（2）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.
（3）单位向量有无数个，它们的长度相等，但方向不一定相同.
2．平面向量的线性运算
【答案】|λ||a|； 相反
教材挖掘（人教A版必修第二册P24T17）
向量加法的多边形法则
（1）如图（1），在△ABC中，计算AB+BC+CA;
（1）
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算AB+BC+CD+DA;
（2）
（3）如图（3），在n边形A1A2A3⋯An中，A1A2+A2A3+A3A4+⋯+An−1An+AnA1=?证明你的结论.
（3）
由此可以挖掘：向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量的加法中，称为多边形法则.
一般地，首尾顺次相接的有向线段所表示的多个向量的和等于从第一个有向线段的起点指向最后一个有向线段的终点的有向线段所表示的向量，即A1A2+A2A3+A3A4+⋯+An−1An=A1An.特别地,首尾顺次相接且围成一周的有向线段所表示的向量的和为零向量.
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ ，使得_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】b=λa
常考结论
1.A，P，B三点共线⇔OP=(1−t)OA+tOB（t∈R,O为平面内任意一点）.特别地，若P为线段AB的中点,则OP=12(OA+OB).
2.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G（如图所示）.
易知点G为△ABC的重心,则:
（1）GA+GB+GC=0;
（2）AG=13(AB+AC)，GD=16(AB+AC).
3.对于任意两个向量a,b，都有||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 有向线段就是向量，向量就是有向线段.（ ）
（2） 零向量与任一向量平行.（ ）
（3） 若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.（ ）
（4） 若a，b都为单位向量，则a=b.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．（人教A版必修第二册P10练习T4改编）下列各式化简结果正确的是（ ）
A. AB+AC=BCB. AB−AD=BD
C. AB+BC−AC=0D. AM+MB+BO+OM=AM
【答案】D
3．（人教A版必修第二册P16例8改编）设向量a，b不共线，向量λa+b与a+2b共线，则实数λ=_ _ _ _ _ _ .
【答案】12
【解析】∵λa+b与a+2b共线，
∴ 存在实数μ ，使得λa+b=μ(a+2b),
∴λ=μ,2μ=1,∴λ=12,μ=12.
4．［人教A版必修第二册P23习题T10（1）改编］若a，b满足|a|=3，|b|=5，则|a+b|的最大值为_ _ _ _ ，最小值为_ _ _ _ .
【答案】8； 2
【解析】|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8，当且仅当a，b同向时取等号，
所以|a+b|max=8.
又|a+b|≥||a|−|b||=|3−5|=2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a+b|min=2.
突破核心 提能力
考点一 平面向量的基本概念
例1 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与BC相等的向量为（ ）
A. BAB. CDC. ADD. OD
【答案】D
【解析】A,B选项均与BC的方向不同,C选项与BC的长度不相等,D选项与BC的方向相同,长度相等.故选D.
例2 下列说法中不正确的是（ ）
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量的长度等于0
C. 若a,b都为非零向量，则使a|a|+b|b|=0成立的条件是a与b的方向相反
D. 若a=b,b=c,则a=c
【答案】A
【解析】零向量的方向是任意的，故A中说法不正确;
由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B中说法正确;
因为a|a|与b|b|都是单位向量，所以当a与b的方向相反时，a|a|与b|b|是相反向量，此时a|a|+b|b|=0，故C中说法正确;
向量相等具有传递性，故D中说法正确.
故选A.
例3 关于非零向量a，b，下列说法正确的是（ ）
A. 若|a|>|b|，则a>bB. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若a=b，则a//bD. 若a≠b，则a，b不是共线向量
【答案】C
【解析】对于A，向量不能比较大小，故A错误；
对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错误；
对于C，若a=b，由向量相等的条件可得a//b，故C正确；
对于D，当a=−b时，a,b共线，故D错误.故选C.
考点二 平面向量的线性运算
例4 （2025·山东泰安模拟）在平行四边形ABCD中，已知EC=BE，DF=2FC，则FE=（ ）
A. −13AB+12ADB. −13AB−12AD
C. 13AB+12ADD. 13AB−12AD
【答案】D
【解析】解法一：在平行四边形ABCD中，有AB=DC,AD=BC.又EC=BE，DF=2FC，所以FE=AE−AF=(AB+BE)−(AD+DF)=(AB+12BC)−(AD+23DC)=(AB+12AD)−(AD+23AB)=13AB−12AD.
解法二：在平行四边形ABCD中，有AB=DC,AD=BC.又EC=BE，DF=2FC，所以FE=FC+CE=13DC+12CB=13AB−12AD.
变式．在平行四边形ABCD中，BE=12BC，AF=13AE.若AB=mDF+nAE，则m+n=（ ）
A. 12B. 34C. 56D. 43
【答案】D
【解析】由题意可得AB=AE+EB=AE+12DA=AE+12(DF+FA)=AE+12(DF−13AE)=12DF+56AE，又AB=mDF+nAE，所以m=12，n=56，所以m+n=43.
例5 若|AB|=7，|AC|=4，则|BC|的取值范围是（ ）
A. [3,7]B. (3,7)C. [3,11]D. (3,11)
【答案】C
【解析】由题意知|AB|=7，|AC|=4，且|BC|=|AC−AB|，
当AC，AB同向时，|BC|取得最小值，|BC|min=||AC|−|AB||=|4−7|=3；
当AC，AB反向时，|BC|取得最大值，|BC|max=||AC|+|AB||=|4+7|=11；
当AC，AB不共线时，3=||AC|−|AB||