2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】，共11页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A.4B.3
C.2D.0
2.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为( )
A.eq \f(1,2)aB.a
C.bD.eq \f(1,2)b
3.设四边形ABCD为平行四边形，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝4，若点M，N满足eq \(BM,\s\up6(→))＝3eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(DN,\s\up6(→))＝2eq \(NC,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝( )
A.20B.15
C.9D.6
4.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n等于( )
A.0B.1
C.2D.3
5.(多选)设向量a＝(－1，1)，b＝(0，2), 则( )
A.|a|＝|b|B.(a－b)∥b
C.(a－b)⊥aD.a与b的夹角为eq \f(π,4)
6.我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(BA,\s\up6(→))＝b，eq \(BE,\s\up6(→))＝3eq \(EF,\s\up6(→))，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(12,25)a＋eq \f(9,25)bB.eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b
C.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)bD.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b
7.已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝________.
8.已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2).若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________.
9.已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________.
10.在同一平面中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→)).若eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n＝________.
11.已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(－eq \r(6)，eq \r(2))，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
12.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2eq \r(2)，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→)).
(1)若∠ABD＝eq \f(π,4)，求BC的长；
(2)若AC＝3，求cs∠BAD.
二、创新拓展练
13.点P是△ABC所在平面内一点，满足|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，则△ABC一定是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
14.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝－1
B.eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
C.|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)
D.eq \(ED,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的长度为eq \f(7,6)
15.在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且MN＝eq \f(3,2)，若eq \(MN,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝________.
16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C＝eq \f(π,3)，a＋b＝λc(其中λ>1).
(1)若λ＝eq \r(3)，证明：△ABC为直角三角形；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(9,8)λ2，且c＝3，求λ的值.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 B
解析 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2.答案 A
解析 ∵向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×eq \f(1,2)＝2，
∴2a－b在a方向上的投影向量为eq \f(1,2)a.
3.答案 C
解析 eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(NM,\s\up6(→))＝eq \(CM,\s\up6(→))－eq \(CN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(3,16)eq \(AD,\s\up6(→))2
＝eq \f(1,3)×36－eq \f(3,16)×16＝9，选C.
4.答案 C
解析 如图，连接AO，由O为BC的中点可得，
eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up6(→))，
∵M，O，N三点共线，
∴eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1.
∴m＋n＝2.
5.答案 CD
解析 ∵a＝(－1，1)，b＝(0，2)，
a－b＝(－1，－1)，
对于A，|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，
∴|a|≠|b|，故A错误；
对于B，－1×2－(－1)×0≠0，
∴a－b与b不平行，故B错误；
对于C，(a－b)·a＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，
∴(a－b)⊥a，故C正确；
对于D，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
又a与b的夹角范围是[0，π]，
∴a与b的夹角为eq \f(π,4)，故D正确.
6.答案 B
解析 eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)\(BF,\s\up6(→))＋\(BA,\s\up6(→))))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(9,16)eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BA,\s\up6(→))，
解得eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(12,25)eq \(BA,\s\up6(→))，
即eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b，故选B.
7.答案 5
解析 由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq \r(42＋（－3）2)＝5.
8.答案 1
解析 已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2)，
所以kb＋c＝(－2k＋3，k＋2)，
因为向量a与向量kb＋c共线，
所以k＋2＝3×(－2k＋3)，解得k＝1.
9.答案 eq \f(2,3)π
解析 设a与b的夹角为θ，
由(a＋b)⊥a，
得(a＋b)·a＝0，
即a·b＝－a2，
又cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－a2,|a|·2|a|)＝eq \f(－a2,2a2)
＝－eq \f(1,2)，且0≤θ≤π，
则θ＝eq \f(2,3)π.
10.答案 eq \f(2,3)
解析 由题意得，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，
故eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以m＝eq \f(1,3)，n＝eq \f(1,3)，
故m＋n＝eq \f(2,3).
11.(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)由题意，得－eq \r(6)cs x＋eq \r(2)sin x＝0，
所以tan x＝eq \r(3)，
又x∈[0，π]，所以x＝eq \f(π,3).
(2)f(x)＝a·b＝－eq \r(6)cs x＋eq \r(2)sin x
＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
因为x∈[0，π]，所以x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，
所以f(x)∈[－eq \r(6)，2eq \r(2)]，
即f(x)的最大值为2eq \r(2)，此时x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,6)；
f(x)的最小值为－eq \r(6)，此时x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)，则x＝0.
12.解 (1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2eq \r(2)，∠ABD＝eq \f(π,4)，
由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin∠ABD)，
所以sin∠ADB＝eq \f(4×sin\f(π,4),2\r(2))＝1，
因为0<∠ADB<π，
所以∠ADB＝eq \f(π,2).
所以BD＝2eq \r(2)，
所以DE＝BE＝eq \r(2)，AE＝eq \r(10).
所以cs∠AED＝cs∠BEC＝eq \f(\r(5),5).
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以EC＝eq \f(\r(10),2).
由余弦定理得
BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cs∠BEC＝2＋eq \f(5,2)－2×eq \r(2)×eq \f(\r(10),2)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(5,2)，
所以BC＝eq \f(\r(10),2).
(2)法一 因为AC＝3，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以AE＝2.
设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得
cs∠ADB＝eq \f(（2\r(2)）2＋4x2－42,2×2\r(2)×2x).
在△AED中，由余弦定理得
cs∠ADB＝eq \f(（2\r(2)）2＋x2－22,2×2\r(2)×x)，
所以eq \f(4x2－8,8\r(2)x)＝eq \f(x2＋4,4\r(2)x)，
解得x＝2eq \r(2)，
所以BD＝4eq \r(2).
在△ABD中，由余弦定理得
cs∠BAD＝eq \f(AB2＋AD2－BD2,2×AB×AD)
＝eq \f(16＋8－32,16\r(2))＝－eq \f(\r(2),4).
法二 因为AC＝3，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以|eq \(AE,\s\up6(→))|＝2，
在△ABD中，E为BD的中点，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，
平方得|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))
＝4|eq \(AE,\s\up6(→))|2，
即16＋8＋2×4×2eq \r(2)×cs∠BAD＝16，
解得cs∠BAD＝－eq \f(\r(2),4).
二、创新拓展练
13.答案 B
解析 因为点P是△ABC所在平面内一点，
且|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，
所以|eq \(CB,\s\up6(→))|－|(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))|＝0，
即|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，
等式两边平方并化简得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，
则△ABC一定是直角三角形.
14.答案 BCD
解析 因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))，△ABC是等边三角形，
所以CE⊥AB，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝0，选项A错误；
以E为坐标原点，eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，eq \r(3))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，
设O(0，y)，y∈(0，eq \r(3))，
则eq \(BO,\s\up6(→))＝(1，y)，eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，y－\f(2\r(3),3)))，
又eq \(BO,\s\up6(→))∥eq \(DO,\s\up6(→))，
所以y－eq \f(2\r(3),3)＝－eq \f(1,3)y，
解得y＝eq \f(\r(3),2)，
即O是CE的中点，eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以选项B正确；
|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝|2eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OE,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2).所以选项C正确；
eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3))，
eq \(ED,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的长度为eq \f(\(ED,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,3)＋2,2)＝eq \f(7,6)，所以选项D正确.
15.答案 －2
解析 因为点M，N分别是AD，BC的中点，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))，
则有eq \(MN,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2).
又因为AB＝2，所以CD＝1，
则由eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))两边平方化简得
5＝|eq \(CD,\s\up6(→))|2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))，
即eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(|\(CD,\s\up6(→))|2－5,2)＝－2.
16.(1)证明 ∵λ＝eq \r(3)，∴a＋b＝eq \r(3)c，
由正弦定理得sin A＋sin B＝eq \r(3)sin C，
∵C＝eq \f(π,3)，∴sin B＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝eq \f(3,2)，
即sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B＋eq \f(1,2)sin B＝eq \f(3,2)，
∴eq \f(3,2)sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \f(3,2)，
即eq \f(\r(3),2)sin B＋eq \f(1,2)cs B＝eq \f(\r(3),2)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，
又B∈(0，π)，从而B＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)或B＋eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)，
解得B＝eq \f(π,6)或B＝eq \f(π,2).
若B＝eq \f(π,6)，则A＝eq \f(π,2)，△ABC为直角三角形；
若B＝eq \f(π,2)，△ABC也为直角三角形.
所以△ABC为直角三角形.
(2)解 若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(9,8)λ2，
即|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs C＝eq \f(9,8)λ2，又C＝eq \f(π,3)，
则eq \f(1,2)ab＝eq \f(9,8)λ2，
∴ab＝eq \f(9,4)λ2.
由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcs C，
即a2＋b2－ab＝c2＝9，
即(a＋b)2－3ab＝9，
又a＋b＝3λ，故9λ2－eq \f(27,4)λ2＝9，
解得λ2＝4，
又λ>1，∴λ＝2.