2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 004-第三节 平面向量的数量积及应用（教用）

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课标要求
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角.
回归教材 强基础
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则_ _ _ _ _ _ _ _ =θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
当θ=0时，a与b同向；
当θ=π 时，a与b反向;
当θ=π2时，a与b垂直，记作a⊥b.
【答案】∠AOB
2．向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ ，则把数量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作_ _ _ _ _ _ .
【答案】|a||b|csθ； a⋅b
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ ，e是与b方向相同的单位向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b_ _ _ _ ，A1B1叫做向量a在向量b上的_ _ _ _ _ _ _ _ ，记为|a|csθe.
【答案】投影； 投影向量
4．向量数量积的运算律
（1）a⋅b=b⋅a;
（2）(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb)(λ∈R);
（3）(a+b)⋅c=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】a⋅c+b⋅c
5．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ .
【答案】5.x1x2+y1y2； x12+y12； x1x2+y1y2=0
常考结论
1.平面向量数量积运算的常用公式
（1）(a+b)⋅(a−b)=a2−b2；
（2）(a±b)2=a2±2a⋅b+b2.
2.与向量夹角有关的两个结论
（1）若非零向量a，b的夹角为锐角，则a⋅b>0，反之不成立（夹角为0时不成立）；
（2）若非零向量a，b的夹角为钝角，则a⋅b0，即a2−b2>0，∴52+52>λ2+12，∴−7