2024高考数学一轮总复习（导与练）第六章第1节　平面向量的概念及线性运算

第六章　平面向量、复数(必修第二册)

第1节　平面向量的概念及线性运算

 [选题明细表]

1.(多选题)下列命题错误的是(　BCD　)

A.向量的长度与向量的长度相等

B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反

C.|a|+|b|=|a-b|⇔a与b方向相反

D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同

解析:向量与向量,长度相等,方向相反,故A正确;当a=0时,a与b的方向不一定相同或相反,故B错误;当a,b之一为零向量时,a与b的方向不一定相反,故C错误;当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故D错误.

2.设D为线段BC的中点,且+=-6,则下列结论正确的是(　D　)

A.=2    B.=3

C.=2    D.=3

解析:由D为线段BC的中点,且+=-6,得2=-6,

则=-3,所以=3.

3.(2023·河南模拟)下列关于平面向量的说法正确的是(　D　)

A.若,共线,则点A,B,C,D必在同一直线上

B.若a∥b且b∥c,则a∥c

C.若G为△ABC的外心,则++=0

D.若O为△ABC的垂心,则·=·=·

解析:若,共线,则A,B,C,D在同一直线上或AB∥CD,A错误;若b为零向量,则a与c不一定平行,B错误;++=0⇔G为△ABC的重心,C错误;若O为△ABC的垂心,则OA⊥BC,则·=0,所以·

(-)=0,得·=·.同理得·=·,故·

=·=·,D正确.

4.已知a,b是两个不共线的向量,且向量b+ma,a-3b共线,则实数m的值为(　D　)

A.3     B.-3

C.        D.-

解析:设b+ma=k(a-3b),

即b+ma=ka-3kb,

则

解得

5.(多选题)已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为线段BC的中点,则等于(　AC　)

A.+    B.-

C.+    D.+

解析:如图所示,

已知BC中点为E,则=+=+=+(+)=-+

×=+.

6.如图所示,已知∠B=30°,∠AOB=90°,点C在AB上,OC⊥AB,若用和来表示向量,则=　　　       　. 

解析:由题意知=+=+=+(-)=+.

答案:+

7.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为　　　       　. 

解析:由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ.

又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,

所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,

所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,

又e1与e2不共线,

所以

解得k=-.

答案:-

8.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且=a,=b,则=　　　　,=　　　　.(用a,b表示) 

解析:如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.

答案:b-a　-a-b

9.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是(　AB　)

A.2a-3b=4e且a+2b=-2e

B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0

C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)

D.已知梯形ABCD,其中=a,=b

解析:对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=e,b=-e,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,由平面向量共线定理知,存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0,则非零向量a,b是共线向量,故B正确;对于C,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=

0,则不能保证a,b共线,故C错误;对于D,已知在梯形ABCD中,=

a,=b,AB,CD不一定是梯形的上、下底,故D错误.

10.设D为△ABC的边AB的中点,P为△ABC内一点,且满足=+

,则等于(　A　)

A.    B.     C.     D.

解析:因为D为△ABC的边AB的中点,所以S△ABC=2S△ADC.

又因为P为△ABC内一点,且满足=+,所以-=,即=,即|DP|=|BC|且DP∥BC,所以∠ADP=∠B.因为S△ABC=

|AB||BC|sin B,S△APD=|AD||DP|sin B=×|AB|·|BC|·sin B=

×|AB||BC|sin B=S△ABC,所以==.

11.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　ACD　)

A.若=+,则点M是边BC的中点

B.若=2-,则点M在边BC的延长线上

C.若=--,则点M是△ABC的重心

D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的

解析:若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;

若=2-,即-=-,即=,

则点M在边CB的延长线上,故B错误;

若=--,即++=0,

则点M是△ABC的重心,故C正确;

如图,=x+y,且x+y=,

可得2=2x+2y,

设=2,则M为AN的中点,

则△MBC的面积是△ABC的面积的,故D正确.

12.在直角梯形ABCD中,A=90°,B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是　     　　　. 

解析:由已知可得AD=1,CD=,

所以=2.

因为点E在线段CD上,所以=λ (0≤λ≤1).

因为=+,

又=+μ=+2μ,

所以2μ=λ.

因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.

答案:[0,]

13.在△ABC中,=,P是线段BN上一点,若=t+,则实数t的值为　               . 

解析:法一　因为=,

所以=,

所以=t+=t+,

因为B,P,N三点共线,

所以t+=1,所以t=.

法二　因为=,所以=,

设=λ(0≤λ≤1),

则=+=+λ

=+λ(+)

=+λ(-+)

=λ+(1-λ).

又=t+,

所以解得t=λ=.

答案:

14.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.

(1)试用向量a,b表示 .

(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记 =λa,=

μb,求证:+为定值.

(1)解:由A,M,D三点共线,可设=m,

则=m+(1-m)=ma+b,

由B,M,C三点共线,可设=n,

则=n+(1-n)=a+(1-n)b,

所以解得

所以=a+b.

(2)证明:因为E,M,F三点共线,设=k,则=k+(1-k)=

kλa+(1-k)μb,由(1)知kλ=,(1-k)μ=,所以=7k,=7-7k,所以+=7,为定值.

15.已知A1,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足=λ(+)(λ是实数),且++是单位向量,则这样的点M有(　C　)

A.0个     B.1个     C.2个     D.无数个

解析:由题意得,=-λ(+),

=+,=+,

所以++=(1-3λ)·(+),如图所示,设D为A2A3的中点,

所以(1-3λ)(+)是与共起点且共线的一个向量,显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点,故λ有两个值,即符合题意的点M有2个.