2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 002-培优进阶 等和线定理（教用）

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培优进阶 等和线定理
如图，由三点共线的结论可知，若P,A,B三点共线，且OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，作直线l//AB,在直线l上取点P′,使得OP′=kOP(k∈R)，则OP′=kOP=kλOA+kμOB，若OP′=xOA+yOB(x,y∈R)，则x+y=kλ+kμ=k，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则两个定值k互为相反数；
⑥定值k与等和线到O点的距离成正比.
例1 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2=_ _ _ _ _ _ .
【答案】12
【解析】解法一（通性通法）：由题意作图如下.
∵ 在△ABC中，DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC−AB)=−16AB+23AC=λ1AB+λ2AC，
∴λ1=−16，λ2=23.故λ1+λ2=12.
解法二（等和线法）：如图，过点A作AH//DE,交BC的延长线于点H,∵AD=12AB,∴DE=12AH,即DE=12AH，又DE=λ1AB+λ2AC,所以由等和线定理可知λ1+λ2=12.
例2 给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120∘ ,如图,点C在以O为圆心，1为半径的AB⌢上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值是_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】解法一：以OA为x轴的正方向,O为坐标原点,建立直角坐标系，如图，
则A(1,0),B(−12,32),设∠AOC=θ ,0≤θ≤2π3，则C(csθ,sinθ),
因为OC=xOA+yOB,
所以(csθ,sinθ)=x(1,0)+y(−12,32),即x−y2=csθ,32y=sinθ,
得x=33sinθ+csθ ,y=233sinθ ,则x+y=33sinθ+csθ+233sinθ=3sinθ+csθ=2sin(θ+π6),
又0≤θ≤2π3,所以(x+y)max=2,当且仅当θ=π3时取得.
解法二：如图,连接AB交OC于点D,设OD=tOC,由于OC=xOA+yOB,所以OD=t(xOA+yOB).
因为D,A,B三点在同一直线上,所以tx+ty=1,x+y=1t,由于|OD|=t|OC|=t,∠AOB=120∘ ，所以当OD⊥AB时，t取得最小值，为12,当点D与点A或点B重合时，t取得最大值，为1,故1≤x+y≤2.故x+y的最大值为2.
解法三（等和线法）：连接AB,设x+y=k,则直线AB为k=1的等和线，过C作直线l//AB,显然当l与圆弧相切时,k最大，即x+y最大，设切点为C1，AB与OC1交于点D1，因为∠AOB=120∘ ,所以|OD1|=12，所以OC1=2OD1,由等和线定理可知x+y的最大值为2.
归纳总结
利用等和线定理求基底系数和的步骤
（1）确定k=1 的等和线；
（2）平移该线，作出满足条件的等和线；
（3）从长度之比或点的位置的角度，计算满足条件的k 的值.
培优训练
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R)，则λ+μ=（ ）
A. 1B. 34C. 23D. 12
【答案】B
【解析】解法一（通性通法）：∵E为线段AO的中点，∴BE=12(BA+BO)=12(BA+12BD)=12BA+14BD=λBA+μBD，∴λ=12，μ=14，则λ+μ=34.
解法二（等和线法）：如图，延长BE交AD于点F,设λ+μ=k,则直线AD为k=1的等和线，过E作AD的平行线，
此时k=|BE||BF|，由△AEF∼△CEB得|BE||BF|=|EC||AC|=34，故选B.
2．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P是△BCD内的任意一点（含边界），设OP=λOC+μOD，则λ+μ 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】[1,32]
【解析】解法一（通性通法）：以边OA，OC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则D(2,0),C(0,1)，
∴OD=(2,0)，OC=(0,1)，
设P(x,y)，则OP=(x,y)，∵OP=λOC+μOD,∴(x,y)=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ)，∴x=2μ,y=λ,∴λ+μ=12x+y，
设z=12x+y，则y=−12x+z，∴z是直线y=−12x+z在y轴上的截距，
由图可知，当该直线过点B(1,1)时，该直线在y轴上的截距最大，为32；当该直线和直线CD重合时，该直线在y轴上的截距最小，为1.
故z∈[1,32]，即λ+μ∈[1,32].
解法二（等和线法）：如图，过点B作平行于CD的直线交OD的延长线于点E,设λ+μ=k，则直线CD为k=1的等和线，在与△BCD有交点且与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k=|OE||OD|，
∵CD//BE,∴∠CDO=∠BEA,∴tan∠CDO=tan∠BEA,∴COOD=BAAE，又CO=BA,∴AE=OD=2,∴OE=3,故此时k=32，显然k的最小值为1，∴k∈[1,32]，即λ+μ∈[1,32].