2025年高考数学一轮复习-7.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-7.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】，共13页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(1，eq \r(3))，则|λa－b|(λ∈R)的最小值为( )
A.2B.eq \f(\r(3),2)
C.1D.eq \r(3)
2.已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|AC|)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于( )
A.13B.15
C.19D.21
3.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b－ta|的最小值为1，则( )
A.若θ确定，则|a|唯一确定
B.若θ确定，则|b|唯一确定
C.若|a|确定，则θ唯一确定
D.若|b|确定，则θ唯一确定
4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形的剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.[6，12]B.[6，16]
C.[8，12]D.[8，16]
5.在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2\r(2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，2))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，2\r(2)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2))
6.在△ABC中，点D满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，且CD⊥CB，则当角A最大时，cs A的值为( )
A.－eq \f(4,5)B.eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(5\r(34),34)
7.已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1B.2eq \r(2)－1
C.2eq \r(3)－1D.eq \r(7)－1
8.已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))的最小值为( )
A.－4B.4
C.无最小值D.0
9.在菱形ABCD中，∠BAD＝eq \f(2π,3)，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足eq \f(|\(BM,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最小值为________.
10.已知平面向量a，b是单位向量.若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝eq \r(5)，则|c＋2a|的取值范围是________.
11.若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，则a与a＋b的夹角的取值范围是________.
12.在△ABC中，点D满足BD＝eq \f(3,4)BC，当E点在线段AD上移动时，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.
二、创新拓展练
13.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)、圆D(后轮)的半径均为eq \r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最大值为( )
A.18B.24
C.36D.48
14.已知等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为________.
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|的值为________；(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值为________.
16.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值是__________.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 C
解析 由题意可得λa－b＝λ(eq \r(3)，1)－(1，eq \r(3))＝(eq \r(3)λ－1，λ－eq \r(3))，
所以，|λa－b|2＝(eq \r(3)λ－1)2＋(λ－eq \r(3))2＝4λ2－4eq \r(3)λ＋4＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋1，
故当λ＝eq \f(\r(3),2)时，|λa－b|取得最小值1.
2.答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，t)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))＋eq \f(4,t)(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，
eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1，－4))·(－1，t－4)＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))≤17－2eq \r(\f(1,t)·4t)＝13，
当且仅当t＝eq \f(1,2)时等号成立，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于13.
3.答案 B
解析 由|b－ta|的最小值为1知(b－ta)2的最小值为1，
令f(t)＝(b－ta)2，
即f(t)＝b2－2ta·b＋t2a2，
则对于任意实数t，f(t)的最小值为eq \f(4a2·b2－（2a·b）2,4a2)＝eq \f(4a2b2－（2|a||b|cs θ）2,4a2)＝1，
化简得b2(1－cs2θ)＝1，
观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.
4.答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OM,\s\up6(→))2＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－4，
因为|eq \(PO,\s\up6(→))|∈[2eq \r(3)，4]，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是[8，12].
5.答案 A
解析 依题意得，△ABC的外接圆半径R＝eq \f(1,2)·eq \f(BC,sin 45°)＝eq \r(2)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
如图所示，因B为锐角，故A只能在弧A1C上(端点除外)，
当A在A2位置时，eq \(OA2,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向，此时eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))有最大值2eq \r(2)，
当A在A1位置时，eq \(OA1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，此时为最小值，
故eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2\r(2))).故选A.
6.答案 C
解析 由题意，作出示意图如图所示，因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)).又eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，CD⊥CB，
所以eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(5,4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,4)|eq \(AB,\s\up6(→))|2－eq \f(5,4)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(CA,\s\up6(→))|cs A＝0，
所以cs A＝eq \f(|\(CA,\s\up6(→))|2＋\f(1,4)|\(AB,\s\up6(→))|2,\f(5,4)|\(AB,\s\up6(→))|·|\(CA,\s\up6(→))|)
＝eq \f(4AC2＋AB2,5AB·AC)≥eq \f(2\r(4AC2·AB2),5AB·AC)＝eq \f(4,5)，当且仅当AB＝2AC时取等号，故选C.
7.答案 C
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＝12，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
由平面向量模的三角不等式可得
|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))|≥||eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))||＝2eq \r(3)－1.
8.答案 A
解析 如图所示，建立平面直角坐标系xAy，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，
设P(x，y)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，
所以(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))
＝(2－2x，－2y)·(2－2x，4－2y)
＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4，
因此，当x＝y＝1时，(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))取得最小值为－4.
综上，故选A.
9.答案 eq \f(3,2)
解析 设eq \f(|\(BM,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)＝t，0≤t≤1，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋teq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－teq \(AB,\s\up6(→))＝(1－t)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AD,\s\up6(→)))·[(1－t)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))]
＝(1－t)eq \(AB,\s\up6(→))2＋teq \(AD,\s\up6(→))2＋(1＋t－t2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))
＝4(1－t)＋4t＋(1＋t－t2)×2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝2t2－2t＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,2)，
因为0≤t≤1，所以当t＝eq \f(1,2)时，2t2－2t＋2取得最小值eq \f(3,2)，
即eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最小值为eq \f(3,2).
10.答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6\r(5),5)，3))
解析 由题意，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
因为|c－a|＋|c－2b|＝eq \r(5)，
即eq \r(（x－1）2＋y2)＋eq \r(x2＋（y－2）2)＝eq \r(5)，
所以由几何意义可得，点P(x，y)到点A(1，0)和点B(0，2)的距离之和为eq \r(5).
又|AB|＝eq \r(5)，所以点P在线段AB上，且直线AB的方程为2x＋y－2＝0.
因为|c＋2a|＝eq \r(（x＋2）2＋y2)表示点P到点M(－2，0)的距离，
又点M到直线AB的距离为
eq \f(|2×（－2）－2|,\r(1＋4))＝eq \f(6\r(5),5)，
此时，点M到直线AB垂线的垂足在线段AB上，|MA|＝3，|MB|＝2eq \r(2)，
所以|c＋2a|的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6\r(5),5)，3)).
11.答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
解析 根据题意，设|a＋b|＝t，
则|a|＝|b|＝λt，
设a与a＋b的夹角为θ，
由|a＋b|＝t，
得a2＋2a·b＋b2＝t2，
又|a|＝|b|，
所以a2＋a·b＝eq \f(t2,2)，所以
cs θ＝eq \f(a·（a＋b）,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,λt×t)＝eq \f(\f(t2,2),λt2)＝eq \f(1,2λ).
又λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，
则eq \f(1,2)≤cs θ≤eq \f(\r(2),2)，
又0≤θ≤π，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
12.答案 eq \f(9,10)
解析 如图所示，△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
又点E在线段AD上移动，
设eq \(AE,\s\up6(→))＝keq \(AD,\s\up6(→))，0≤k≤1，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(k,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3k,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(k,4)，,μ＝\f(3k,4)，))
∴t＝(λ－1)2＋μ2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)－1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5k2,8)－eq \f(k,2)＋1，0≤k≤1，
∴当k＝eq \f(2,5)时，t取到最小值，最小值为eq \f(9,10).
二、创新拓展练
13.答案 C
解析 骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动.
如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意得A(－4，0)，B(－2，2eq \r(3))，C(2，2eq \r(3))，
圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，
设P(4＋eq \r(3)cs α，eq \r(3)sin α)，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝(6，2eq \r(3))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(6＋eq \r(3)cs α，eq \r(3)sin α－2eq \r(3))，
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝6(6＋eq \r(3)cs α)＋2eq \r(3)(eq \r(3)sin α－2eq \r(3))＝6eq \r(3)cs α＋6sin α＋24
＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))＋24
＝12sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋24，
易知当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝1时，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))取得最大值36.
14.答案 －5－2eq \r(3)
解析 设等边△ABC的边长为a，
则面积S＝eq \f(\r(3),4)a2＝9eq \r(3)，
解得a＝6，
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为M为△ABC的内心，
所以点M在OC上，且OM＝eq \f(1,3)OC，
则A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3eq \r(3))，M(0，eq \r(3))，
由|MN|＝1，得点N在以M为圆心，1为半径的圆上.
设N(x，y)，则x2＋(y－eq \r(3))2＝1，
即x2＋y2－2eq \r(3)y＋2＝0，
且eq \r(3)－1≤y≤1＋eq \r(3)，
eq \(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq \(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2eq \r(3)y－11≥2eq \r(3)×(eq \r(3)－1)－11＝－5－2eq \r(3).
15.答案 1 eq \f(11,20)
解析 设BE＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq \r(3)x，DC＝1－2x.
∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2＝4eq \(BE,\s\up6(→))2＋4eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|＝1.
∵(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))
＝(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)))
＝eq \(DE,\s\up6(→))2＋eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)x)2＋0＋0＋(1－2x)·(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,10)))eq \s\up12(2)＋eq \f(11,20)，
所以当x＝eq \f(3,10)时，(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))取最小值为eq \f(11,20).
16.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值是__________.
答案 eq \f(28,29)
解析 法一 设e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，
则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)，
2e1－e2＝(2－x，－y)，
故|2e1－e2|＝eq \r(（2－x）2＋y2)≤eq \r(2)，
得(x－2)2＋y2≤2.
又有x2＋y2＝1，则(x－2)2＋1－x2≤2，
化简，得4x≥3，即x≥eq \f(3,4)，因此eq \f(3,4)≤x≤1.
cs2θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|a|·|b|)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(（x＋1）（x＋3）＋y2,\r(（x＋1）2＋y2)\r(（x＋3）2＋y2))))eq \s\up12(2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4x＋4,\r(2x＋2)\r(6x＋10))))eq \s\up12(2)＝eq \f(4（x＋1）2,（x＋1）（3x＋5）)
＝eq \f(4（x＋1）,3x＋5)＝eq \f(\f(4,3)（3x＋5）－\f(8,3),3x＋5)＝eq \f(4,3)－eq \f(\f(8,3),3x＋5)，
当x＝eq \f(3,4)时，cs2θ有最小值，
为eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)＋1)),3×\f(3,4)＋5)＝eq \f(28,29).
法二 单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2)，
所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，
即e1·e2≥eq \f(3,4).
因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，
所以cs2 θ＝eq \f(（a·b）2,|a|2|b|2)
＝eq \f([（e1＋e2）·（3e1＋e2）]2,|e1＋e2|2·|3e1＋e2|2)
＝eq \f(（4＋4e1·e2）2,（2＋2e1·e2）（10＋6e1·e2）)
＝eq \f(4＋4e1·e2,5＋3e1·e2).
不妨设t＝e1·e2，则t≥eq \f(3,4)，cs2 θ＝eq \f(4＋4t,5＋3t)，
又y＝eq \f(4＋4t,5＋3t)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增.
所以cs2 θ≥eq \f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq \f(28,29).
所以cs2 θ的最小值为eq \f(28,29).
法三 由题意，不妨设
e1＝(1，0)，e2＝(cs x，sin x).
因为|2e1－e2|≤eq \r(2)，
所以eq \r(（2－cs x）2＋sin2 x)≤eq \r(2)，
得5－4cs x≤2，
即cs x≥eq \f(3,4).
易知a＝(1＋cs x，sin x)，
b＝(3＋cs x，sin x)，
所以a·b＝(1＋cs x)(3＋cs x)＋sin2x＝4＋4cs x，
|a|2＝(1＋cs x)2＋sin2 x＝2＋2cs x，
|b|2＝(3＋cs x)2＋sin2 x＝10＋6cs x，
所以cs2 θ＝eq \f(（a·b）2,|a|2|b|2)
＝eq \f(（4＋4cs x）2,（2＋2cs x）（10＋6cs x）)＝eq \f(4＋4cs x,5＋3cs x).
不妨设m＝cs x，
则m≥eq \f(3,4)，cs2 θ＝eq \f(4＋4m,5＋3m)，
又y＝eq \f(4＋4m,5＋3m)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增，
所以cs2 θ≥eq \f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq \f(28,29)，
所以cs2 θ的最小值为eq \f(28,29).