2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 02-第2课时 基本不等式的综合应用（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 02-第2课时 基本不等式的综合应用（教用），共15页。试卷主要包含了与基本不等式有关的恒成立问题，基本不等式与其他知识的交汇问题，基本不等式的实际应用等内容，欢迎下载使用。
第四节 基本不等式
第2课时 基本不等式的综合应用
突破核心 提能力
考点一 与基本不等式有关的恒（能）成立问题
例1 已知a，b为正实数，且a≤b+1，若ab+b2+1≥m(a+b)恒成立，则m的最大值为（ ）
A. 2−12B. 2+12C. 2−1D. 22−12
【答案】D
【解析】∵ab+b2+1≥m(a+b)，∴b(a+b)+1≥m(a+b)，∴m≤b+1a+b恒成立，∴m≤(b+1a+b)min，又a≤b+1，∴b+1a+b≥b+12b+1=b+12+12b+12−12≥212−12=22−12，当且仅当b=2−12，a=2+12时取等号.∴m的最大值为22−12.故选D.
变式．已知a，b为正实数，且a≤b+1，若存在实数m，使得ab+b2+1≤m(a+b)成立，则m的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】22−12
【解析】∵ab+b2+1≤m(a+b)，∴b(a+b)+1≤m(a+b)，∴ 存在实数m，使得m≥b+1a+b成立，∴m≥(b+1a+b)min，同例1解析.∴m的最小值为22−12.
归纳总结
1.∀x∈M,都有f(x)≥a,等价于f(x)min≥a；∀x∈M，都有f(x)≤a，等价于f(x)max≤a.
2.∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
考点二 基本不等式与其他知识的交汇问题
例2 （2025·福建厦门调研）已知向量a，b满足|a+b|=2|a−b|，则sin⟨a，b⟩的最大值为（ ）
A. 33B. 35C. 22D. 45
【答案】D
【解析】|a+b|=2|a−b|，两边平方得a2+b2+2a⋅b=4(a2+b2−2a⋅b)，整理得a⋅b=310(|a|2+|b|2)，所以cs⟨a，b⟩=310⋅|a|2+|b|2|a|⋅|b|≥310⋅2|a|⋅|b||a|⋅|b|=35，当且仅当|a|=|b|时等号成立，所以sin⟨a，b⟩≤1−(35)2=45，即sin⟨a，b⟩的最大值为45.故选D.
例3 （2026·山东青岛调研）设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，将△ABC沿AC折叠，如图所示，AB′交DC于点P，则当△ADP的面积取得最大值时，AB的长度为（ ）
A. 32B. 42C. 52D. 62
【答案】D
【解析】设AB=x，则AD=12−x，又AB>AD，所以x>12−x>0，即60)过函数y=lga(x−1)+2(a>0，且a≠1)图象上的定点T，则2m+6n的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】5+26
【解析】令x−1=1，可得x=2，可知函数y=lga(x−1)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点T(2,2).
因为定点T(2,2)在直线2mx+ny−4=0上，所以2m+n=2，又m>0,n>0，所以2m+6n=12(2m+6n)(2m+n)=5+nm+6mn≥5+2nm⋅6mn=5+26，当且仅当nm=6mn，即m=6−2，n=6−26时，等号成立，所以2m+6n的最小值为5+26.
考点三 基本不等式的实际应用
例6 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200m2，深度为2m，育苗池的四周均设计宽为2m的甬路.设育苗池底面的一条边长为xm(10≤x≤20)，甬路的面积为Sm2.
（1） 求S与x之间的函数关系式；
（2） 已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求当x为何值时，总造价最低，并求最低总造价.
【解析】
（1） 由每个育苗池底面的一条边长为xm,得其邻边长为200xm，
则S=(x+4)(3×200x+2×4)−600=8x+2400x+32，10≤x≤20.
（2） 设总造价为w元，则w=200×3×2×(2x+400x)+600×3×200+100S=
2400x+480000x+360000+800x+240000x+3200=
3200x+720000x+363200，10≤x≤20，
其中3200x+720000x≥23200x⋅720000x=96000，当且仅当3200x=720000x，即x=15时，等号成立，故w=3200x+720000x+363200≥459200，
所以当x=15时，总造价最低，最低总造价为459 200元.
变式．通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需要额外投入流动成本P(x)万元.在年产量不足5万件时，P(x)=6x+182x+1−11；在年产量不少于5万件时，P(x)=6x+108x2−15.已知每件产品售价5元，且生产的产品在当年可全部售完.
（1） 写出年利润W(x)（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（2） 当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？
注：当ai>0(i=1,2,3,⋯,n)时，a1+a2+⋯+ann≥na1⋅a2⋅⋯⋅an，当且仅当a1=a2=⋯=an时等号成立.
【解析】
（1） 因为每件产品的售价为5元，所以x万件产品的销售收入为5x万元.
根据题意得，当0