2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 007-培优进阶 奔驰定理（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 007-培优进阶 奔驰定理（教用），共15页。试卷主要包含了奔驰定理，奔驰定理的推论等内容，欢迎下载使用。
培优进阶 奔驰定理
1.奔驰定理
如图，已知O为△ABC内的一点，则有S△BOC⋅OA+S△AOC⋅OB+S△AOB⋅OC=0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.
2.奔驰定理的推论
已知O是△ABC所在平面内一点,且x⋅OA+y⋅OB+z⋅OC=0,则：
（1）S△BOC:S△AOC:S△AOB=|x|:|y|:|z|；
（2）S△BOCS△ABC=|xx+y+z|，S△AOCS△ABC=|yx+y+z|，S△AOBS△ABC=|zx+y+z|.
例1 已知O是△ABC内部一点，满足OA+2OB+mOC=0，且S△AOBS△ABC=47，则实数m=（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】解法一（通性通法）：延长CO至点M，使得OM=−m3OC（图略），∵OA+2OB+mOC=0，∴−m3OC=13OA+23OB，即OM=13OA+23OB，∴A，B，M三点共线，又OC与OM的方向相反，∴|OM||CM|=mm+3，∴S△AOBS△ABC=|OM||CM|=mm+3=47，解得m=4.
解法二（奔驰定理法）：∵OA+2OB+mOC=0，∴S△BOC:S△AOC:S△AOB=1:2:m，∴S△AOBS△ABC=m1+2+m=47⇒m=4.
例2 如图，已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，则S△ABC:S△PBC=（ ）
A. 14:3B. 19:4C. 24:5D. 29:6
【答案】B
【解析】解法一（通性通法）：∵QR=13QB，∴ 以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1:3，
∴S△PQB=3S△PQR，即S△PBR=2S△PQR，
∵RP=13RC,∴ 以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1:3，
∴S△BCR=3S△PBR=6S△PQR，同理可得S△ACP=S△ABQ=6S△PQR，又S△PBC=S△BCR−S△PBR=2S△PBR=4S△PQR，
∴S△ABCS△PBC=S△BCR+S△ACP+S△ABQ+S△PQRS△PBC=19S△PQR4S△PQR=194.
解法二（奔驰定理法）：由QR=13QB，得PR−PQ=13(PB−PQ),整理得PR=13PB+23PQ=13PB+29PA，由RP=13RC，得RP=13(PC−PR)，整理得PR=−12PC，所以−12PC=13PB+29PA，整理得4PA+6PB+9PC=0，
由奔驰定理的推论可得S△ABC:S△PBC=(4+6+9):4=19:4，故选B.
归纳总结
奔驰定理与三角形的“四心”
（1）O是△ABC 的重心：S△BOC:S△AOC:S△AOB=1:1:1⇔ OA+OB+OC=0.
（2）O是△ABC 的内心：S△BOC:S△AOC:S△AOB=a:b:c⇔ aOA+bOB+cOC=0（a,b,c分别是△ABC 中∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边）.
（3）O是△ABC 的外心：S△BOC:S△AOC:S△AOB=sin2∠BAC:sin2∠ABC:sin2∠ACB⇔ sin2∠BAC⋅OA+sin2∠ABC⋅OB+sin2∠ACB⋅OC=0.
（4）O是△ABC 的垂心：S△BOC:S△AOC:S△AOB=tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB⇔tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0.
培优训练
1．点O为△ABC内一点，若S△AOB:S△BOC:S△AOC=4:3:2，设AO=λAB+μAC，则实数λ 和μ 的值分别为 （ ）
A. 29，49B. 49，29C. 19，29D. 29，19
【答案】A
【解析】根据奔驰定理，得3OA+2OB+4OC=0，即3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC)=0，
整理得AO=29AB+49AC，故选A.
2．已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=（ ）
A. 1:2:3B. 1:2:4C. 2:3:4D. 2:3:6
【答案】A
【解析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，因为∠MOC+∠MCO=90∘ ，∠BAC+∠MCO=90∘ ，所以∠MOC=∠BAC，又∠MOC+∠BOP，所以∠BOP=∠BAC，同理可得∠AOP=∠ABC，因此S△BOCS△AOC=12OC⋅BP12OC⋅AP=BPAP=OPtan∠BOPOPtan∠AOP=tan∠BACtan∠ABC，同理可得S△BOCS△AOB=tan∠BACtan∠ACB，
于是tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S△BOC:S△AOC:S△AOB，
又OA+2OB+3OC=0，所以由奔驰定理的推论得S△BOC:S△AOC:S△AOB=1:2:3，所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3，故选A.