2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 02-第二节 用样本估计总体（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 02-第二节 用样本估计总体（教用），共15页。试卷主要包含了5分B，5分和一个最低分7，01+0，6小时，方差为7，试验结果如下等内容，欢迎下载使用。
第二节 用样本估计总体
课标要求
1.结合实例，能用样本估计总体的百分位数，理解百分位数的统计含义.
2.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义；能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.
3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.
回归教材 强基础
1．百分位数
（1）第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据_ _ _ _ _ _ _ _ 这个值，且至少有(100−p)%的数据大于或等于这个值.
（2）四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组从小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或下四分位数，第75百分位数也称为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或上四分位数.
【答案】小于或等于； 第一四分位数； 第三四分位数
2．总体集中趋势的估计
（1）平均数
①如果给定的一组数是x1，x2，⋯ ，xn，那么这组数的平均数为x=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，简记为x=1n∑ni=1xi;
②加权平均数：如果总体的n个变量值中，不同的值有k(k≤n)个，不妨记为y1，y2，⋯ ，yk，其中yi出现的频数为fi(i=1,2,⋯,k)，则加权平均数为y=1n∑ki=1fiyi；
③分层随机抽样的平均数：若一组数据是由分层随机抽样所得到的，其中第1层中有m个数据，分别为x1,x2,⋯ ,xm，平均数为x，第2层中有n个数据，分别为y1,y2,⋯ ,yn，平均数为y，则x1,x2,⋯ ,xm，y1,y2,⋯ ,yn的平均数w=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间的两个数据的_ _ _ _ _ _ （当数据个数是偶数时）叫做这组数据的中位数.
（3）众数：一组数据中出现次数_ _ _ _ 的数据（即频数最大值所对应的样本数据）叫做这组数据的众数.
【答案】1n(x1+x2+⋯+xn)； mm+nx+nm+ny； 平均数； 最多
3．总体离散程度的估计
（1）若一组数据是x1，x2，⋯ ，xn，用x表示这组数据的平均数，则：
①极差：max{x1,x2,⋯ ,xn}−min{x1,x2,⋯ ,xn}；
②方差：s2=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
③标准差：s=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）分层随机抽样的方差
若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,x,s12和n,y,s22，记总样本平均数为ω，总样本方差为s2，则s2=1m+n{m[s12+(x−ω)2]+n[s22+(y−ω)2]}.
【答案】1n∑ni=1(xi−x)2； 1n∑ni=1(xi2−nx2)； 1n∑ni=1(xi−x)2； 1n∑ni=1(xi2−nx2)
常考结论
1.若数据x1，x2，⋯ ，xn的平均数为x，则mx1+a，mx2+a，mx3+a，⋯ ，mxn+a的平均数是mx+a.
2.若数据x1，x2，⋯ ，xn的方差为s2，则数据x1+a，x2+a，x3+a,⋯ ，xn+a的方差也为s2,数据ax1，ax2，⋯ ，axn的方差为a2s2.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 一组数据的众数不一定是唯一的.（ ）
（2） 一组数据的中位数必为其中一个数.（ ）
（3） 方差越大,数据越集中.（ ）
（4） 若一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．（人教A版必修第二册P209练习T3改编）学校举行演讲比赛，11位评委对甲同学演讲的评分情况如下表：
选手的最终得分为去掉一个最高分和一个最低分之后，剩下9个评分的平均数，则甲同学的最终得分为（ ）
A. 8.5分B. 8.9分C. 9.0分D. 9.1分
【答案】C
【解析】去掉一个最高分9.5分和一个最低分7.8分，则甲同学的最终得分为8.0×2+9.0×3+9.5×49=9.0（分）.故选C.
3．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则（ ）
A. x=4,s2=2B. x=4,s2>2C. x=4,s24,s20.8，
所以80%分位数位于[90,100)内，
设80%分位数为y，则y=90+0.8−×10≈98，
所以该店长每天应该进98千克苹果.
归纳总结
1.中位数、众数、平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用.
2.数字特征在频率分布直方图中的体现
（1）众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组数据的组中值来表示，即用样本数据的频率分布直方图中，最高的小长方形的底边中点的横坐标表示.
（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形的面积之和相等.
（3）平均数：平均数在频率分布表中等于每组数据的组中值与对应频率之积的和，在样本数据的频率分布直方图中等于每个小长方形的面积与其对应的底边中点的横坐标之积的和.
考点三 总体离散程度的估计
例6 （2023· 新课标Ⅰ卷·9,5分）多选 有一组样本数据x1,x2,⋯ ,x6,其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A. x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,⋯ ,x6的平均数
B. x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,⋯ ,x6的中位数
C. x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,⋯ ,x6的标准差
D. x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,⋯ ,x6的极差
【答案】BD
【解析】对于A，如1，2，2，2，2，4的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误；
对于B，不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为x3+x42,x1,x2,⋯ ,x6的中位数为x3+x42，故B正确；
对于C，x1,x2,⋯ ,x6的数据波动性更大，故C错误；
对于D，不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5−x2≤x6−x1，故D正确.故选BD.
例7 某学校为了解本校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女学生的比例抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间.通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7.3，女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8，则所有样本数据的方差是_ _ _ _ .（结果保留两位小数）
【答案】7.88
【解析】所有样本数据的平均数为4848+27×7.6+2748+27×6.4=7.168，所有样本数据的方差为148+27×{48×[7.3+(7.6−7.168)2]+27×[8+(6.4−7.168)2]}≈7.88.
例8 [2023·全国乙卷（文）·17，12分］某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,⋯,10).试验结果如下：
记zi=xi−yi(i=1,2,⋯,10),记z1,z2,⋯ ,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.
（1） 求z,s2;
（2） 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).
【解析】
（1） zi=xi−yi(i=1,2,⋯,10)依次为9,6,8,−8,15,11,19,18,20,12,则z=110×(9+6+8−8+15+11+19+18+20+12)=11,
s2=110×[(9−11)2+(6−11)2+(8−11)2+(−8−11)2+(15−11)2+(11−11)2+(19−11)2+(18−11)2+(20−11)2+(12−11)2]=61.
（2） 由（1）知z=11，s2=61，则z−2s210=11−26110>0,∴z≥2s210,即甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
归纳总结
1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的情况.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.评分
7.8
8.0
9.0
9.5
评委人数
1
2
3
5
亩产量
[900,950)
[950,1000)
[1000,1050)
[1050,1100)
[1100,1150)
[1150,1200)
频数
6
12
18
30
24
10
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536