2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 005-培优进阶 极化恒等式（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 005-培优进阶 极化恒等式（教用），共15页。试卷主要包含了极化恒等式，几何解释，故选B等内容，欢迎下载使用。
培优进阶 极化恒等式
1.极化恒等式
a⋅b=14[(a+b)2−(a−b)2].
2.几何解释
三角形中，两边向量的数量积等于第三边上的中线长与第三边长的一半的平方差，如图，即AB⋅AC=AM2−MB2（M为BC的中点）.
例1 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F是线段AD上的两个三等分点，若BA⋅CA=7，BE⋅CE=2，则BF⋅CF=（ ）
A. −2B. −1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】由点D是BC的中点，点E，F是线段AD上的两个三等分点，得BA⋅CA=AB⋅AC=AD2−BD2=AD2−BC24=36FD2−BC24=7，BE⋅CE=EB⋅EC=ED2−BD2=4FD2−BC24=16FD2−BC24=2，因此FD2=1,BC2=8，所以BF⋅CF=FB⋅FC=FD2−BD2=4FD2−BC24=4×1−84=−1.故选B.
例2 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为4，直径为2的圆O的圆心为正六边形的中心，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM⋅PN的取值范围是（ ）
A. [11,16]B. [11,15]C. [12,15]D. [11,14]
【答案】B
【解析】连接PO（图略），PM⋅PN=PO2−OM2=PO2−1，因为点P在正六边形的边上运动，O为正六边形的中心，所以|PO|∈[23,4]，所以PO2−1∈[11,15]，所以PM⋅PN的取值范围是[11,15].故选B.
归纳总结
在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
（1）取第三边的中点，连接向量的起点与该中点;
（2）利用极化恒等式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
（3）利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.
培优训练
1．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，则FD⋅FE=（ ）
A. −34B. −89C. −14D. −49
【答案】B
【解析】由题意结合极化恒等式,可得FD⋅FE=|OF|2−|OE|2，因为圆O的半径为1，BC，DE是圆O的直径，BF=2FO，所以|OF|=13，|OE|=1，所以FD⋅FE=19−1=−89.故选B.
2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，点P为平面ABC内的一点，则PA⋅(PB+PC)的最小值是（ ）
A. −2B. −32C. −43D. −1
【答案】B
【解析】解法一（极化恒等式法）：取BC的中点D，连接PD（图略），则PB+PC=2PD，即PA⋅(PB+PC)=2PA⋅PD，连接AD，取AD的中点M，连接PM（图略），则2PA⋅PD=2(PM2−AM2)，当PM=0时，PM2−AM2取得最小值，为−34，故PA⋅(PB+PC)的最小值为−32.故选B.
解法二（坐标法）：取BC的中点D，连接AD,∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC,以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,3)，B(−1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，则PA=(−x,3−y)，PB=(−1−x,−y)，PC=(1−x,−y)，则PA⋅(PB+PC)=2x2−23y+2y2=2[x2+(y−32)2−34]，∴ 当x=0，y=32时，PA⋅(PB+PC)取得最小值，为−32，故选B.