2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 06-培优进阶 柯西不等式和权方和不等式（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 06-培优进阶 柯西不等式和权方和不等式（教用），共15页。试卷主要包含了柯西不等式，权方和不等式等内容，欢迎下载使用。
培优进阶 柯西不等式和权方和不等式
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
2.二维形式的柯西不等式的变式
（1）a2+b2⋅c2+d2≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
（2）a2+b2⋅c2+d2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立).
（3）(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立).
3.二维形式的柯西不等式的向量形式
|α⋅β|≤|α||β|（当且仅当β 是零向量，或存在实数k，使α=kβ 时，等号成立）.
4.扩展：(a12+a22+a32+⋯+an2)(b12+b22+b32+⋯+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn)2，当且仅当bi=0(i=1,2,⋯,n)或a1:b1=a2:b2=⋯=an:bn时，等号成立.
二、权方和不等式
设an>0，bn>0，n∈N∗，m>0，则a1m+1b1m+a2m+1b2m+a3m+1b3m+⋯+anm+1bnm≥(a1+a2+a3+⋯+an)m+1(b1+b2+b3+⋯+bn)m，当且仅当a1b1=a2b2=a3b3=⋯=anbn时，等号成立.
1.二元一次的权方和不等式
设a，b，x，y∈R+，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.
2.三元一次的权方和不等式
设a，b，c，x，y，z∈R+，则a2x+b2y+c2z≥(a+b+c)2x+y+z，当且仅当ax=by=cz时等号成立.
例1 若x为锐角，则1sinx+27csx的最小值为_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】1sinx+27csx=132(sin2x)12+332(cs2x)12≥(1+3)12+1(sin2x+cs2x)12=8，
当且仅当1sin2x=3cs2x，即x=π6时，取等号.
例2 （2021·浙江卷·17，4分）已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a⋅b=0,(a−b)⋅c=0.记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d−a在c方向上的投影为z，则x2+y2+z2的最小值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】25
【解析】解法一：由题意，设a=(1,0),b=(0,2),c=(m,n)，则(a−b)⋅c=m−2n=0，即m=2n，
又向量d在a,b方向上的投影分别为x，y，∴d=(x,y)，所以d−a在c方向上的投影z=(d−a)⋅c|c|=m(x−1)+nym2+n2=2x−2+y±5，即2x+y∓5z=2,∴x2+y2+z2=110[22+12+(∓5)2](x2+y2+z2)≥410=25，当且仅当x2=y1=z∓5,2x+y∓5z=2,即x=25,y=15,z=∓55时，等号成立，∴x2+y2+z2的最小值为25.
解法二：设a=(1,0)，b=(0,2)，则a−b=(1,−2)，由(a−b)⋅c=0，可设c=(2m,m)，
∵d=(x,y),∴d−a=(x−1,y).
∵d−a在c方向上的投影为z，
∴z=(d−a)⋅c|c|=2m(x−1)+my5|m|=(2x+y−2)m5|m|，
∴x2+y2+z2=x2+y2+(2x+y−2)25=
9x2+(4y−8)x+6y2−4y+45=
95(x+2y−49)2+109(y−15)2+25≥25，
当且仅当y=15且x=25时，等号成立.
故x2+y2+z2的最小值为25.
培优训练
1．函数f(x)=3x+3x+161−3x(00，bi>0(i=1,2)，证明a12b1+a22b2≥(a1+a2)2b1+b2；
（2） 已知xi>0(i=1,2,⋯,5)，x1+2x2+3x3+4x4+5x5=30，求x12+2x22+3x32+4x42+5x52的最小值；
（3） 某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数x，y满足x2+y2−3x+2=0，求(x+2y)23x−2的最大值.
解：由权方和不等式得(x+2y)23x−2=(x+2y)2x2+y2≤x2(x2)1+(2y)2(y2)1=5，所以(x+2y)23x−2的最大值是5.
【解析】
（1） 证明：(a12b1+a22b2)(b1+b2)=a12+a22+a12b2b1+a22b1b2≥a12+a22+2a12b2b1⋅a22b1b2=
(a1+a2)2，当且仅当a1b1=a2b2时，等号成立.因为b1>0，b2>0，所以a12b1+a22b2≥(a1+a2)2b1+b2.
（2） x12+2x22+3x32+4x42+5x52=x121+(2x2)22+(3x3)23+(4x4)24+(5x5)25≥(x1+2x2+3x3+4x4+5x5)21+2+3+4+5=30215=60，当且仅当x1=x2=x3=x4=x5时，等号成立.
所以x12+2x22+3x32+4x42+5x52的最小值为60.
（3） 这种解法不正确.
理由如下：在所给出的解法中，当且仅当xx2=2yy2，即y=2x时等号成立.
由x2+y2−3x+2=0,y=2x,消去y得5x2−3x+2=0，因为Δ0，所以00，则x12y1+x22y2+x32y3≥(x1+x2+x3)2y1+y2+y3，当且仅当x1y1y1=x2y2y2=x3y3y3，即x1y1=x2y2=x3y3时等号成立.
（3） T=|AB||PD|+|BC|4|PE|+|AC||PF|=c|PD|+a4|PE|+b|PF|=c2c|PD|+a24a|PE|+b2b|PF|，
因为S△PAB=12c|PD|，S△PBC=12a|PE|，S△PAC=12b|PF|，且S△PAB+S△PBC+S△PAC=S△ABC，所以c|PD|+a|PE|+b|PF|=2S△ABC.
根据三维分式型柯西不等式可得(c2c|PD|+324a|PE|+b2b|PF|)(c|PD|+a|PE|+b|PF|)≥(b+c+32)2，
因为c|PD|+a|PE|+b|PF|=2S△ABC，所以T=c2c|PD|+324a|PE|+b2b|PF|≥(b+c+32)22S△ABC.
又S△ABC=34bc，所以(b+c+32)22S△ABC=2(b+c+32)23bc，
即T≥2(b+c+32)23bc，当且仅当1|PD|=32|PE|=1|PF|，即|PE|=32|PD|=32|PF|时等号成立.
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可得9=b2+c2−bc，变形为(b+c)2−9=3bc，即bc=(b+c)2−93.
将bc=(b+c)2−93代入T≥2(b+c+32)23bc中，可得T≥23(b+c+32)2(b+c)2−9.
令t=b+c+32，
则T≥23t2(t−32)2−9=23−274t2−3t+1.
由bc=(b+c)2−93≤b+c22,b+c>a,可得3