2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 006-培优进阶 抽象函数（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 006-培优进阶 抽象函数（教用），共15页。
抽象函数是指没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数.
（1）判断抽象函数单调性的方法
①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=⋯ ，则判断符号时要变形为f(x2)−f(x1)=f((x2−x1)+x1)−f(x1)或f(x2)−f(x1)=f(x2)−f((x1−x2)+x2)；
②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=⋯ ，则判断符号时要变形为f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)或f(x2)−f(x1)=f(x2)−f(x2⋅x1x2).
（2）常见的抽象函数模型
①幂函数f(x)=xα ，对应f(xy)=f(x)f(y)或f(xy)=f(x)f(y).
②指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，对应f(x+y)=f(x)f(y)或f(x−y)=f(x)f(y).
③对数函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)=f(x)+f(y)或f(xy)=f(x)−f(y)或f(xn)=nf(x).
例1 （2023· 新课标Ⅰ卷·11，5分）多选 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（ ）
A. f(0)=0B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数D. x=0为f(x)的极小值点
【答案】ABC
【解析】由题知f(xy)=y2f(x)+x2f(y).
对于A，令x=y=0，则f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.
对于B，令x=y=1，则f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.
对于C，令x=y=−1，则f(1)=f(−1)+f(−1)=2f(−1)，则f(−1)=0，令y=−1，则f(−x)=f(x)+x2f(−1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确.
对于D，解法一：不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.
解法二：当x2y2≠0时，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)的两边同时除以x2y2，得f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可设 f(x)x2=ln|x|(x≠0)，则f(x)=x2ln∣x∣,x≠0,0,x=0,
当x>0时，f(x)=x2lnx，
则f′(x)=2xlnx+x2⋅1x=x(2lnx+1)，
令f′(x)1时，f(x)x2，则f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x2)+f(x1x2)−f(x2)=f(x1x2)，
因为x1>x2>0，所以x1x2>1，因此f(x1)−f(x2)=f(x1x2)1，所以f(1)>1，所以f(0)=1.任取x1,x2∈(0,+∞)，且x10，所以f(x2−x1)>1，即 f(x2)f(x1)>1，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
令f(x)=2x，满足f(0)=1，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x)f(y)=2x⋅2y=2x+y=f(x+y).
所以满足条件的f(x)的解析式可以是f(x)=2x.