2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 003-第二节 平面向量基本定理及坐标表示（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 003-第二节 平面向量基本定理及坐标表示（教用），共15页。试卷主要包含了理解平面向量基本定理及其意义，能用坐标表示平面向量共线的条件，5～7，0～10等内容，欢迎下载使用。
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
课标要求
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
回归教材 强基础
1．平面向量基本定理
（1） 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_ _ _ _ _ _ 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个_ _ _ _ .
【答案】（1） 不共线；λ1e1+λ2e2
（2） 基底
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个_ _ _ _ _ _ _ _ 的向量，叫做把向量作正交分解.
【答案】互相垂直
3．平面向量的坐标运算
（1） 向量加法、减法、数乘运算及向量的模
已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2).
（2） 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，|AB|=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） (x1+x2,y1+y2)；(x1−x2,y1−y2)；(λx1,λy1)；x12+y12
（2） (x2−x1,y2−y1)；(x2−x1)2+(y2−y1)2
点拨 两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
4．平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b≠0，则a//b⇔a=λb(λ∈R)⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x1y2−x2y1=0
常考结论
1.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则G的坐标为(x1+x2+x33,y1+y2+y33).
2.定比分点的坐标公式：如图，线段P1P2的端点P1,P2的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，点P(x,y)是直线P1P2上的一点.当P1P=λPP2(λ≠0,且λ≠−1)时，点P的坐标为(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ).特别地，当P为P1P2的中点时，点P的坐标为(x1+x22,y1+y22).
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a+λ2b=0，则λ1=λ2=0.（ ）
（2） 平面向量的基底不唯一,但只要基底确定,则这个平面内的任意一个向量都可以用这个基底唯一表示.（ ）
（3） 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a//b的充要条件可以表示成x1x2=y1y2.（ ）
（4） 平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标都不变.（ ）
【答案】（1） √
（2） √
（3） ×
（4） √
2．（人教A版必修第二册P31例6改编）已知a=(−3,4)，b=(5,2)，则2a−3b=（ ）
A. (21,2)B. (−21,2)C. (2,21)D. (−2,21)
【答案】B
【解析】由题意得2a=(−6,8)，3b=(15,6)，所以2a−3b=(−21,2).故选B.
3．（人教A版必修第二册P30例5改编）已知▱ABCD的三个顶点为A(−1,−2)，B(3,−1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为（ ）
A. (1,4)B. (1,5)C. (2,4)D. (2,5)
【答案】B
【解析】设D(x,y)，则由AB=DC，得(4,1)=(5−x,6−y)，即4=5−x,1=6−y,解得x=1,y=5,即D(1,5).故选B.
4．多选 ［人教A版必修第二册P60复习参考题T2（6）改编］下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. e1=(0,0)，e2=(1,1)B. e1=(1,2)，e2=(−2,1)
C. e1=(−3,4)，e2=(35,−45)D. e1=(2,6)，e2=(−1,−3)
【答案】ACD
【解析】在选项A，C，D中，向量e1,e2共线，不能作为基底；在选项B中，向量e1，e2不共线，可以作为基底.故选ACD.
突破核心 提能力
考点一 平面向量基本定理及其应用
例1 给定平面上的一组不共线向量e1，e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A. 2e1+e2和e1−e2B. e1+3e2和e2+3e1
C. 3e1−e2和2e2−6e1D. e1和e1+e2
【答案】C
【解析】对于A，不存在实数λ ，使得2e1+e2=λ(e1−e2)，故2e1+e2和e1−e2不共线，可作基底；
对于B，不存在实数λ ，使得e1+3e2=λ(e2+3e1)，故e1+3e2和e2+3e1不共线，可作基底；
对于C，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数−2，使得2e2−6e1=−2(3e1−e2)，所以3e1−e2和2e2−6e1共线，不可作基底；
对于D，不存在实数λ ，使得e1=λ(e1+e2)，故e1和e1+e2不共线，可作基底.故选C.
例2 （2022·新高考Ⅰ卷·3，5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=（ ）
A. 3m−2nB. −2m+3nC. 3m+2nD. 2m+3n
【答案】B
【解析】CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD−CA)=−2CA+3CD，所以CB=−2m+3n.故选B.
变式．如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的三等分点，G为EF的中点，记AG=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A. 1712B. 1312C. 712D. 512
【答案】A
【解析】由题意可得AF=AD+13AB，AE=AB+12AD，因为G为EF的中点，所以AG=12AF+12AE=16AB+12AD+12AB+14AD=23AB+34AD，则λ=23,μ=34，所以λ+μ=23+34=1712.故选A.
归纳总结
应用平面向量基本定理表示向量的实质是向量的线性运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则将所求向量不断进行转化，直至用基底表示为止.
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
考点二 平面向量的坐标运算
例3 （2023·北京卷·3,4分）已知向量a,b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1),则|a|2−|b|2=（ ）
A. −2B. −1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】由a+b=(2,3),a−b=(−2,1),得a=(0,2),b=(2,1),
所以|a|2−|b|2=4−5=−1.故选B.
例4 （2025· 全国Ⅰ卷·6,5分）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
A. 轻风B. 微风C. 和风D. 劲风
【答案】A
【解析】设真风风速为v1,船行风风速为v2，视风风速为v,
依题意得v=(−3,−1),v2=(−1,−3)（注：船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反）,且v=v1+v2，∴v1=v−v2=(−3,−1)−(−1,−3)=(−2,2).
因此|v1|=(−2)2+22=22