2024高考数学一轮总复习（导与练）第六章第2节　平面向量基本定理及坐标表示

第2节　平面向量基本定理及坐标表示

 [选题明细表]

1.若向量=(2,3),=(4,7),则等于(　B　)

A.(-2,-4) B.(2,4)

C.(6,10)   D.(-6,-10)

2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　B　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

3.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,F在线段BE上,且BF=

3FE,记a=,b=,则等于(　D　)

A.a+b     B.a-b

C.-a+b    D.a-b

解析:取a=,b=作为基底,

则=a+b.

因为BF=3FE,

所以==(a+b)=a+b,

所以=-=a+b-b=a-b.

4.(多选题)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(　AC　)

A.与 B.与

C.与 D.与

解析:如图,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,对于A,

与不共线,可作为基底;对于B,与为共线向量,不可作为基底;对于C,与是两个不共线的向量,可作为基底;对于D,

与在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.

5.已知A(-1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线,则m的值为(　A　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:=(m,m+2)-(-1,-1)=(m+1,m+3),

=(2,5)-(-1,-1)=(3,6),

因为A,B,C三点共线,

所以∥,

所以3(m+3)-6(m+1)=0,

所以m=1.

6.(多选题)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设=a,=b,则下列结论正确的是(　ABD　)

A.=a+b

B.=-a+b

C.=-a+b

D.=-a+b

解析:=+=+=a+b,

故A正确;

=++=-++=-a+b,故B正确;

=+=-+=-a+b,

故C错误;

=++=-++=-a+b,故D正确.

7.已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则等于(　C　)

A.-    B.    C.-2     D.2

解析:因为a∥b,所以a=λb,

即me1+2e2=λ(ne1-e2),则得=-2.

8.已知点A(1,3),B(4,-1),写出一个与向量共线的向量坐标为

　     　　　. 

解析:因为A(1,3),B(4,-1),所以=(3,-4),所以与向量共线的向量的坐标可以是(3λ,-4λ),λ∈R.

答案:(6,-8)(答案不唯一)

9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=

3c,=-2b.

(1)求3a+b-3c;

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;

(3)求M,N的坐标及向量 的坐标.

解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=

(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)法一　因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

所以解得

法二　因为a+b+c=0,

所以a=-b-c,

又a=mb+nc,所以mb+nc=-b-c,

所以

(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,

所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).

所以M(0,20).

又因为=-=-2b,

所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

所以N(9,2),所以=(9,-18).

10.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若=+λ(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为(　B　)

A.     B.-    C.     D.-

解析:设P(x,y),

则由=+λ,

得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ).

所以x=5λ+4,y=7λ+5.

又点P在直线x-2y=0上,

故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-.

11.(多选题)在直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足=

2,点M,N在过点P的直线上,若=m,=n(m>0,n>0),则下列结论正确的是(　ABD　)

A.+为常数

B.m+2n的最小值为3

C.m+n的最小值为

D.m,n的值可以为m=,n=2

解析:如图所示,

由=2,可得-=2(-),

所以=+.

因为=m,=n(m>0,n>0),

所以=,=,

所以=+.

因为M,P,N三点共线,

所以+=1,

所以+=3.

当m=时,n=2,故A,D正确;

m+2n=(m+2n)(+)=++≥2+=3,

当且仅当m=n=1时,等号成立,故B正确;

m+n=(m+n)(+)=++1≥2+1=+1,

当且仅当n=m时,等号成立,故C错误.

12.若α,β是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),

q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　. 

解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

所以a=-2p+2q=(2,4),

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

所以

即

所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).

答案:(0,2)