2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 003-培优进阶 求函数最值（值域）的常用方法（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 003-培优进阶 求函数最值（值域）的常用方法（教用），共15页。试卷主要包含了配方法，分离常数法，换元法，图象法等内容，欢迎下载使用。
培优进阶 求函数最值（值域）的常用方法
1.配方法
将函数配成一个完全平方式与一个常量和的形式，即可求出最值（或值域）.
2.分离常数法
探求形如y=ax+bcx+d(c≠0)的函数的值域时，常把分子中的自变量分离出来，从而速求其最值（或值域）.
3.换元法
对较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（或值域）.
4.图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值（或值域），还可以把问题转化为两个函数图象的交点问题，从而求出最值（或值域）.
例1 多选 下列说法错误的是（ ）
A. 函数y=x2−x+2，x∈[1,3]的值域为[74,8]
B. 函数y=|x−2|−|x+1|的值域为[−3,3]
C. 函数y=1−x2x+5的值域为{y|y≠−12}
D. 函数y=x−1−2x的值域为(−∞,1]
【答案】AD
【解析】选项A：（配方法）∵y=x2−x+2=(x−12)2+74，x∈[1,3]，
∴ 当x=1时，ymin=2;当x=3时，ymax=8，∴y=x2−x+2,x∈[1,3]的值域为[2,8]，A错误.
选项B：（图象法）去掉绝对值符号得，
y=x−2−(x+1),x>2,2−x−(x+1),−1≤x≤2,2−x+(x+1),x2,−2x+1,−1≤x≤2,3,x9时，f(x)=x+100x≥2x⋅100x=20，当且仅当x=100x，即x=10时，等号成立，
所以f(x)=x+100x的最小值为20，因此f(x)=x+100x∈[20,+∞).
综上可得，f(x)的值域为(−∞,374]∪[20,+∞).故选A.
3．（2025·湖北模拟）函数f(x)=(x2−6x+8)(x2−14x+48)的最小值为_ _ _ _ _ _ ，取最小值时x=_ _ _ _ _ _ .
【答案】−16； 5±5
【解析】（配方法）f(x)=(x2−6x+8)(x2−14x+48)=(x−2)(x−4)(x−6)⋅(x−8)=[(x−4)(x−6)]⋅[(x−2)(x−8)]=(x2−10x+24)(x2−10x+16)=(x2−10x)2+40(x2−10x)+24×16=(x2−10x+20)2−16,
所以当x2−10x+20=0，即x=5±5时，f(x)取得最小值，为−16.
4．（2025·四川德阳质检）函数y=3x−8+2x−x2的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】[3−6,43]
【解析】（图象法）令t=3x−8+2x−x2，则8+2x−x2=3x−t，则半圆y=8+2x−x2与直线y=3x−t存在交点，半圆的方程为(x−1)2+y2=9(y≥0)，其圆心为(1,0)，半径为3，画出图象如图：
当直线y=3x−t过点A(4,0)时，t=43；
当直线与半圆相切时，|3−t|2=3，解得t=3−6或t=6+3（舍去）.
故3−6≤t≤43，即所求的值域为[3−6,43].