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    高考数学一轮复习教案 第4章_第2节_平面向量的基本定理及坐标表示(含答案解析)
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    高考数学一轮复习教案 第4章_第2节_平面向量的基本定理及坐标表示(含答案解析)

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    这是一份高考数学一轮复习教案 第4章_第2节_平面向量的基本定理及坐标表示(含答案解析),共8页。

    第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

    [考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

    课前3.TIF

    1平面向量基本定理

    (1)定理:如果e1e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1λ2,使aλ1e1λ2e2.

    (2)基底:不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

    2.平面向量的坐标表示

    在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ij作为基底,该平面内的任一向量a可表示成axiyj,由于a与数对(xy)是一一对应的,把有序数对(xy)叫做向量a的坐标,记作a(xy),其中ax轴上的坐标是xay轴上的坐标是y.

    3.平面向量的坐标运算

    (1)向量加法、减法、数乘及向量的模

    a(x1y1)b(x2y2),则

    ab(x1x2y1y2)ab(x1x2y1y2)

    λa(λx1λy1)|a|.

    (2)向量坐标的求法

    若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

    A(x1y1)B(x2y2),则(x2x1y2y1)

    ||.

    4.平面向量共线的坐标表示

    a(x1y1)b(x2y2),其中b0.ab共线x1y2x2y10.

    1ab不共线,且λaμb0,则λμ0.

    2已知P为线段AB的中点,若A(x1y1)B(x2y2),则P点坐标为;已知ABC的顶点A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3),则ABC的重心G的坐标为.

    [基础自测]

    1(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. (  )

    (2)ab不共线,且λ1aμ1bλ2aμ2b,则λ1λ2μ1μ2. (  )

    (3)相等向量的坐标相同.  (  )

    (4)a(x1y1)b(x2y2),则ab的充要条件可以表示成.(  )

    [答案] (1)× (2) (3) (4)×

    2.已知平面向量a(2,-1)b(1,3),那么|ab|等于   (  )

    A5   B.   C.   D13

    B [因为ab(2,-1)(1,3)(3,2),所以|ab|.]

    3.如图,在ABC中,BE是边AC的中线,O是边BE的中点,若ab,则(  )

    KT19+X1+.TIF

    A.ab

    B.ab

    C.ab

    D.ab

    D [()

    ab,故选D.]

    4(教材改编)已知A(2,-3)B(2,1)C(1,4)D(7t),若共线,则t________.

    4 [(4,4)(8t4),由4(t4)=-32,解得t=-4.]

    5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1,-2)B(3,-1)C(5,6),则顶点D的坐标为________

    (1,5) [D(xy),则由,得(4,1)(5x,6y)

    解得]

    课堂3.TIF

    题型1.TIF

    平面向量基本定理及其应用

    4-50.tif

    1.在下列向量组中,可以把向量a(3,2)表示出来的是(  )

    Ae1(0,0)e2(1,2)

    Be1(1,2)e2(5,-2)

    Ce1(3,5)e2(6,10)

    De1(2,-3)e2(2,3)

    B [e1e2不共线时,可表示a.

    e1(1,2)e2(5,-2)时,(1)×(2)5×2

    因此e1e2不共线,故选B.]

    2.在ABC中,PQ分别是ABBC的三等分点,且APABBQBC,若ab,则(  )

    A.ab      B.-ab

    C.ab   D.-ab

    A [由题意知()ab.故选A.]

    3.如图,向量ab等于(  )

    KT19+146.TIF

    A.-4e12e2   B.-2e14e2

    Ce13e2   D3e1e2

    C [根据向量的减法和加法的三角形法则知abe13e2故选C.]

    [规律方法] 平面向量基本定理应用的实质和一般思路

    1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

    2用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.

    易错警示:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.

     

    题型2.TIF

    平面向量的坐标运算

    4-52.tif

    【例1】 (1)已知a(5,-2)b(4,-3),若a2b3c0,则c等于(  )

    A.   B.

    C.   D.

    (2)已知向量a(2,1)b(1,-2).若manb(9,-8)(mnR),则mn的值为________

    (3)平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0)B(0,1)C(1c)(c0),且||2,若λμ,则实数λμ的值为________

    (1)D (2)3 (3)1 [(1)由已知3c=-a2b

    (5,2)(8,-6)(13,-4)

    所以c.

    (2)由向量a(2,1)b(1,-2),得manb(2mnm2n)(9,-8),则

    解得mn=-3.

    (3)因为||2,所以||21c24,因为c0,所以c.因为λμ,所以(1)λ(1,0)μ(0,1),所以λ=-1μ,所以λμ1.]

    [规律方法] 平面向量坐标运算的技巧

    1利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.

    2解题过程中,常利用向量相等,则坐标相同这一结论,由此可列方程进行求解.

    跟踪练习.TIF 已知A(2,4)B(3,-1)C(3,-4).设abc,且3c=-2b

    (1)3ab3c

    (2)求满足ambnc的实数mn

    (3)MN的坐标及向量的坐标.

    [] 由已知得a(5,-5)b(6,-3)c(1,8)

    (1)3ab3c3(5,-5)(6,-3)3(1,8)

    (1563,-15324)(6,-42)

    (2)mbnc(6mn,-3m8n)

    解得

    (3)O为坐标原点.3c

    3c(3,24)(3,-4)(0,20)

    M(0,20)

    =-2b=-2b(12,6)(3,-4)(9,2)N(9,2)(9,-18)

     

    题型3.TIF

    平面向量共线的坐标表示

     

    【例2】 已知a(1,0)b(2,1)

    (1)k为何值时,kaba2b共线?

    (2)2a3bambABC三点共线,求m的值.

    [] (1)kabk(1,0)(2,1)(k2,-1)

    a2b(1,0)2(2,1)(5,2)

    kaba2b共线,2(k2)(1)×50,即2k450,得k=-.

    (2)法一:ABC三点共线,λ

    2a3bλ(amb)

    解得m.

    法二:2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)

    amb(1,0)m(2,1)(2m1m)

    ABC三点共线,.

    8m3(2m1)0,即2m30

    m.

    [规律方法] 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略

    1利用两向量共线求参数,如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用ax1y1bx2y2,则ab的充要条件是x1y2x2y1解题比较方便.

    2利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λaλR,然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.

    跟踪练习.TIF (1)(2019·沈阳模拟)已知平面向量a(1m)b(3,1)(2ab)b,则实数m的值为(  )

    A.   B.-   C.   D.-

    (2)已知向量(1,-3)(2,-1)(k1k2),若ABC三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________

    (1)B (2)k1 [(1)2ab(1,2m1),由题意知

    3(2m1)=-1,解得m=-,故选B.

    (2)若点ABC能构成三角形,

    则向量不共线.

    因为(2,-1)(1,-3)(1,2)

    (k1k2)(1,-3)(kk1)

    所以1×(k1)2k0

    解得k1.]

    真题3.TIF

    1(2015·全国卷)已知点A(0,1)B(3,2),向量(4,-3),则向量(  )

    A(7,-4)   B(7,4)

    C(1,4)   D(1,4)

    A [法一:C(xy),则(xy1)(4,-3)

    所以从而(4,-2)(3,2)(7,-4).故选A.

    法二:(3,2)(0,1)(3,1)

    (4,-3)(3,1)(7,-4)

    故选A.]

    2(2016·全国卷)已知向量a(m,4)b(3,-2),且ab,则m________.

    6 [a(m,4)b(3,-2)ab

    2m4×30.m=-6.]

    2018-Ⅲ-13文.tif3(2018·全国卷)已知向量a(1,2)b(2,-2)c(1λ).若c(2ab),则λ________.

     [由题意得2ab(4,2),因为c(2ab)c(1λ),所以4λ2,得λ.]

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