高考数学一轮复习教案 第4章_第2节_平面向量的基本定理及坐标表示（含答案解析）

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示

[考纲传真]　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.

3．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

4．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (　　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (　　)

(3)相等向量的坐标相同．  (　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于   (　　)

A．5　　　B.　　　C.　　　D．13

B　[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]

3．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b

B.a＋b

C.a＋b

D.a＋b

D　[＝＋＝＋＝＋(－)

＝＋＝＋＝a＋b，故选D.]

4．(教材改编)已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，t)，若与共线，则t＝________.

－4　[＝(4,4)，＝(－8，t－4)，由∥得4(t－4)＝－32，解得t＝－4.]

5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

即解得]

1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)

B　[当e1与e2不共线时，可表示a.

当e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)时，(－1)×(－2)≠5×2，

因此e1与e2不共线，故选B.]

2．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b　　　　　 B．－a＋b

C.a－b   D．－a－b

A　[由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选A.]

3．如图，向量a－b等于(　　)

A．－4e1－2e2   B．－2e1－4e2

C．e1－3e2   D．3e1－e2

C　[根据向量的减法和加法的三角形法则知a－b＝e1－3e2，故选C.]

【例1】　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

(3)平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)，(c＞0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________．

(1)D　(2)－3　(3)－1　[(1)由已知3c＝－a＋2b

＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．

所以c＝.

(2)由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则

解得故m－n＝－3.

(3)因为||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因为c＞0，所以c＝.因为＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝，所以λ＋μ＝－1.]

已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

(3)设O为坐标原点．∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．

∴M(0,20)．

又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．

【例2】　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

[解]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．

∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.

(2)法一：∵A，B，C三点共线，∴＝λ，

即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴，

解得m＝.

法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．

∵A，B，C三点共线，∴∥.

∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，

∴m＝.

(1)(2019·沈阳模拟)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－3,1)且(2a＋b)∥b，则实数m的值为(　　)

A.　　　B．－　　　C.　　　D．－

(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．

(1)B　(2)k≠1　[(1)2a＋b＝(－1,2m＋1)，由题意知

－3(2m＋1)＝－1，解得m＝－，故选B.

(2)若点A，B，C能构成三角形，

则向量，不共线．

因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，

所以1×(k＋1)－2k≠0，

解得k≠1.]

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

A．(－7，－4)   B．(7,4)

C．(－1,4)   D．(1,4)

A　[法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，

所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.

法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，

＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

故选A.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

－6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，

∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.]

3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

　[由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.]