2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 004-第三节 函数的奇偶性与周期性（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 004-第三节 函数的奇偶性与周期性（教用），共15页。
课标要求
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
回归教材 强基础
1．函数的奇偶性
【答案】f(−x)=−f(x)； 原点； f(−x)=f(x)； y轴
点拨（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
（2）若f(x)≠0，则奇函数和偶函数的定义的等价形式如下：
①f(−x)=−f(x)⇔f(−x)+f(x)=0⇔f(−x)f(x)=−1⇔f(x)为奇函数；
②f(−x)=f(x)⇔f(−x)−f(x)=0⇔f(−x)f(x)=1⇔f(x)为偶函数.
2．函数的周期性
【答案】f(x+T)=f(x)； 最小； 最小正数
常考结论
1.函数奇偶性的常用结论
（1）若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则一定有f(0)=0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|).
（2）奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.
（3）在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.
（4）若F(x)=f(x)+c(c为常数)，且f(x)为奇函数，则F(−x)+F(x)=2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min+F(x)max=2c.
2.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
（1）若f(x+a)=−f(x)，则2a是f(x)的一个周期(a>0).
（2）若f(x+a)=1f(x)，则2a是f(x)的一个周期(a>0).
（3）若f(x+a)=−1f(x)，则2a是f(x)的一个周期(a>0).
（4）若f(x+a)=f(x+b)，则|a−b|是f(x)的一个周期(a≠b).
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 函数y=x2在(−2,4)上是偶函数.（ ）
（2） 若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0.（ ）
（3） 若T是函数的一个周期，则nT(n∈N∗)也是该函数的周期.（ ）
（4） 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．（人教A版必修第一册P86习题T11改编）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=x2−6x，则f(−1)=（ ）
A. −7B. −5C. 5D. 7
【答案】C
【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f(1)=5.
3．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时,f(x)=2−x，则f(2027)=_ _ _ _ _ _ .
【答案】12
【解析】∵f(x)的周期为2，
∴f(2027)=f(1)=2−1=12.
4．易错 已知函数f(x)=x2−2ax+b是定义在区间[−2b,3b−1]上的偶函数，则a+b=_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，故a=0.∵f(x)的定义域为[−2b,3b−1]，∴−2b+3b−1=0，解得b=1.∴a+b=1.
易错分析
易忽略偶函数的定义域关于原点对称而致错.
突破核心 提能力
考点一 函数奇偶性的判断
例1 下列函数为偶函数的是（ ）
A. y=ex−x2x2+1B. y=2xcsxx2+1C. y=ex−xx+1D. y=2xsinxx2+1
【答案】D
【解析】对于A,令x=1，可得y=e−12，令x=−1，可得y=1e−12=1−e2e，两者不相等，所以y=ex−x2x2+1不是偶函数，故A错误；
对于B,令x=π ，可得y=−2ππ2+1，令x=−π，可得y=2ππ2+1，两者不相等，所以y=2xcsxx2+1不是偶函数，故B错误；
对于C,因为y=ex−xx+1的定义域为{x|x≠−1}，不关于原点对称，所以y=ex−xx+1不是偶函数，故C错误；
对于D,因为y=2xsinxx2+1的定义域为R，关于原点对称，且2(−x)sin(−x)(−x)2+1=2xsinxx2+1，所以y=2xsinxx2+1是偶函数，故D正确.故选D.
变式．若f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. f(x−1)−1B. f(x−1)+1C. f(x+1)−1D. f(x+1)+1
【答案】B
【解析】解法一：因为f(x)=1−x1+x，所以f(x−1)=1−(x−1)1+(x−1)=2−xx，f(x+1)=1−(x+1)1+(x+1)=−xx+2.
对于A，令F(x)=f(x−1)−1=2−xx−1=2−2xx，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，但不满足F(x)=−F(−x)；
对于B，令G(x)=f(x−1)+1=2−xx+1=2x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，且满足G(x)=−G(−x)；
对于C，f(x+1)−1=−xx+2−1=−2x+2x+2，定义域为(−∞,−2)∪(−2,+∞)，不关于原点对称；
对于D，f(x+1)+1=−xx+2+1=2x+2，定义域为(−∞,−2)∪(−2,+∞)，不关于原点对称.故选B.
解法二：f(x)=1−x1+x=2−(x+1)1+x=21+x−1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x−1)+1，故选B.
例2 设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列说法中正确的是（ ）
A. f(x)+|g(x)|是偶函数B. f(x)−|g(x)|是奇函数
C. |f(x)|+g(x)是偶函数D. |f(x)|−g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】解法一：由题设知f(−x)=f(x),g(−x)=−g(x),则f(−x)+|g(−x)|=f(x)+|−g(x)|=f(x)+|g(x)|,故A正确;f(−x)−|g(−x)|=f(x)−|g(x)|≠−[f(x)−|g(x)|],故B不正确;|f(−x)|+g(−x)=|f(x)|−g(x)≠|f(x)|+g(x),故C不正确;|f(−x)|−g(−x)=|f(x)|+g(x)≠−[|f(x)|−g(x)],故D不正确.故选A.
解法二：函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，所以|f(x)|，|g(x)|均为偶函数，由性质可得f(x)+|g(x)|是偶函数，A正确.故选A.
归纳总结
函数奇偶性的判断方法
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：对于由两个函数的和、积构成的函数，可以根据这两个函数的奇偶性及“奇+ 奇= 奇，奇×奇= 偶，偶+ 偶= 偶，偶×偶= 偶，奇×偶= 奇”进行判断.
考点二 函数奇偶性的应用
角度1 求解析式
例3 （经典高考）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−1,则当xf(x+3−2m)的解集是（ ）
A. (0,1)B. (23,1]C. (0,23]D. (23,2]
【答案】B
【解析】由f(x)是定义在[1−m,2m−3]上的偶函数，得1−m+2m−3=0，解得m=2，即f(x)的定义域为[−1,1]，因为当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，所以当x∈[−1,0]时，f(x)单调递减，
由f(2x−1)>f(x+3−2m)，得f(2x−1)>f(x−1)，所以−1≤x−1≤1,−1≤2x−1≤1,∣x−1∣0的解集为（ ）
A. (−∞,−2025)∪(2025,+∞)B. (−2025,0)∪(2025,+∞)
C. (−2025,2025)D. (−12025,12025)
【答案】B
【解析】由x2f(x1)−x1f(x2)x1x2(x1−x2)>0得f(x1)x1−f(x2)x2x1−x2>0，设g(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(−x)=f(−x)−x=g(x)，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，不等式f(x)−x>0⇒g(x)>1(x>0),g(x)